Loi binomiale

Binomiale
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Fonction de répartition
Paramètres	$n \geq 0$ nombre d'épreuves (entier) $0\leq p \leq 1$ probabilité de succès (réel) $q=1-p$
Support	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	${n\choose k} p^k q^{n-k} \!$
Fonction de répartition	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Espérance	$np\!$
Médiane	un des $\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}$
Mode	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Variance	$npq\!$
Asymétrie	$\frac{q-p}{\sqrt{npq}}\!$
Kurtosis normalisé	$\frac{1-6pq}{npq}\!$
Entropie	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p q \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Fonction génératrice des moments	$(q + pe^t)^n \!$
Fonction caractéristique	$(q + pe^{it})^n \!$

En mathématiques, la loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité qui correspond à l'expérience suivante :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement « succès » et « échec », la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant $q = 1 - p$). On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire indiquant ce nombre de succès.

L'univers $X(\Omega )~$ désigne l'ensemble des entiers naturels de 0 à n.

La variable aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

$p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$

Cette formule fait intervenir le nombre des combinaisons de k éléments parmi n, généralement noté ${n\choose k}$ ou $\mathrm{C}_{n}^{k}$. (La première notation est préconisée en France pour l'enseignement des mathématiques en terminale scientifique depuis 2001, ainsi que par la norme ISO 31-11.) Notons que ce nombre de combinaisons se distingue du nombre des arrangements de k éléments parmi n, $A^k_n = \dfrac{n!}{(n-k)!}$, du fait que dans une combinaison l'ordre des éléments n'importe pas. Et comme il y a k! (prononcer factorielle k) façons d'ordonner k éléments, le nombre des combinaisons se déduit du nombre des arrangements par la simple division $\dfrac{A^k_n}{k!}\,$ et on obtient :

${n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètres n et p et se note Bin(n ; p).

Calcul de p(k)

Une épreuve de Bernoulli conduit à la création de l'univers Ω = {S ; E}, (S pour Succès et E pour Echec).

On modélise n épreuves de Bernoulli indépendantes par l'univers Ωⁿ constitué des n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec k succès et n - k échecs a donc pour valeur $p^k q^{n-k}$.

Plus généralement, tout n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité $p^k q^{n-k}$ quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement « X = k » est formé de tous les n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet. Il y a donc ${n \choose k}$ n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à $p^k q^{n-k}$.

Donc $P(X = k) = {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k} = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}$.

Remarque : si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors n - X suit la loi binomiale de paramètres n et q ; en effet, elle compte les échecs au cours des n épreuves de Bernoulli.

Lien avec la loi de Bernoulli

Du fait de son interprétation comme loi du nombre de succès lors d'une série de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, la loi binomiale est en particulier la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité q = 1- p). Des exemples importants où la loi binomiale apparaît comme loi de la somme de variables de Bernoulli sont les suivants :

• l'étude des sondages,
• la fonction de répartition empirique,
• la fonction de répartition d'une statistique d'ordre, comme la médiane d'un échantillon, ou un quartile,
• l'étude, par Émile Borel, de la fréquence des différents chiffres dans le développement décimal d'un nombre réel, et sa démonstration du Théorème des nombres normaux.

Par ailleurs, cette interprétation en termes de somme de variables de Bernoulli permet un calcul rapide des cumulants, dont l’espérance et de la variance.

Espérance, variance, écart type

Ainsi X a la même loi que la somme S de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p. Comme l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ne dépendent que de sa loi de probabilité, on en déduit que :

• par linéarité de l'espérance, E[X] est la somme des espérances de ces variables de Bernoulli ; or elles ont pour espérance p et pour variance p(1-p), d'où E[X]=np
• par indépendance des n variables de Bernoulli, V(X) est la somme des variances de ces n variables aléatoires, soit V(X)=np(1-p)
• $\sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}$

Convergence

Pour de grandes valeurs de n, le calcul de ${n \choose k} \, p^k q^{n-k}$ devient vite pratiquement impossible, sauf si l'on cherche à calculer le logarithme de cette expression au lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation des factorielles par la formule de Stirling). On distingue deux cas :

Convergence vers la loi de Poisson

Lorsque n tend vers l'infini et que simultanément $p_n$ tend vers 0 de sorte que $\lim_n\,np_n = a>0,$ la loi binomiale de paramètres n et $p_n$ converge vers la loi de Poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5 ou dès que n > 50 et p < 0.1.

Démonstration de la convergence vers la loi de Poisson

Décomposons la probabilité de valoir k :

$\begin{array}{rcl} {n \choose k} \, {p_n}^k (1-p_n)^{n-k}&=&\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}{p_n}^k(1-p_n)^{n-k} \\&=&\frac{(n p_n)^{k}}{k!}\left(1-\tfrac{1}{n}\right)\left(1-\tfrac{2}{n}\right)\dots\left(1-\tfrac{k-1}{n}\right)(1-p_n)^{n-k}. \end{array}$

On se place dans la situation où $p_n$ est équivalent à a/n en l'infini.

• Lorsque n tend vers l'infini, les facteurs $\left(1-\tfrac{1}{n}\right),\ \left(1-\tfrac{2}{n}\right), \dots ,\ \left(1-\tfrac{k-1}{n}\right)$ tendent vers 1. Le produit de ces termes tend également vers 1 puisqu'ils sont en nombre fini fixé k.
• On a $(1-p_n)^{n-k} = (1-p_n)^n(1-p_n)^{-k},$
  • or $\lim_{p \to 0}\,(1-p)^{-k}\ =\ 1\,;$
  • de plus, $(1-p_n)^{n} \simeq \left(1-\tfrac{a}{n}\right)^n$ et ce dernier terme tend vers $\mathrm{e}^{-a}$ quand n tend vers l'infini.

On trouve donc

$\lim_{n\to+\infty}{n \choose k} \, {p_n}^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{a^k}{k!}\mathrm{e}^{-a},$

qui est la probabilité de k pour la loi de Poisson de paramètre a.

Convergence vers la loi normale

Pour n assez grand, la loi binomiale de paramètres n et p « se comporte comme » la loi normale d'espérance np et de variance npq. Plus précisément, le théorème de Moivre-Laplace précise que si $\Phi$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ et si X_n suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a alors, pour tout réel t :

$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P} \left( \frac{X_n- np}{\sqrt{npq}}\leq t \right) = \Phi(t).$

Le théorème de Berry-Esseen fournit une majoration de l'erreur commise quand on remplace $\mathbb{P}(X_n \le x)$ par $\mathbb{P}(Y_n \le x)$ où Y_n suit la loi normale d'espérance np et de variance npq : l'erreur commise est inférieure à $\scriptstyle \frac C{\sqrt{npq}}$ où C < 0,4784. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale pour n grand et p pas trop proche de 0 ni de 1 (par exemple pour n>30, np>5 et nq>5 ou pour npq >9).

Loi des grands nombres

La loi binomiale, son espérance et sa variance, ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.

Voir aussi

• Loi de Bernoulli
• Loi de Poisson
• Loi normale
• Loi multinomiale
• Probabilité
• Probabilité (mathématiques élémentaires)
• Variables aléatoires élémentaires
• Marche aléatoire