Variable aléatoire

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire.

En théorie des probabilités, une variable aléatoire est une application définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire. Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, ...) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d'une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définition —  Soient (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) un espace probabilisé et (E, \mathcal{E}) un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de \Omega vers E, toute fonction mesurable X de \Omega vers E.

Cette condition de mesurabilité de X assure que l'image réciproque par X de tout élément B de la tribu  \mathcal{E} possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur (E, \mathcal{E}), une mesure de probabilité, notée \mathbb{P}_X, par

\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).

La mesure \mathbb{P}_X est l'image, par l'application X, de la probabilité \mathbb{P} définie sur (\Omega, \mathcal{F}).

Définition —  La probabilité \mathbb{P}_X est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Dans la suite, \mathcal{B}(E) désigne la tribu borélienne de l'espace topologique E.

Exemples[modifier | modifier le code]

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : X\colon\omega\mapsto X(\omega)\in\R. La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de \R^n ou \C^n, et on parle alors de vecteur aléatoire : X\colon\omega\mapsto X(\omega)\in\R^n ou X\colon\omega\mapsto X(\omega)\in \C^n. La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (par exemple une fonction de \mathcal{C}(\R_+,\R^d)), et on parlera alors de processus stochastique. Plus rigoureusement :

Notes et références[modifier | modifier le code]


Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexes[modifier | modifier le code]