Variable aléatoire

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Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire.

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : $\ \scriptstyle X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in\R$ . La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de $\scriptstyle \R^n$ ou $\scriptstyle \C^n$ , et on parle alors de vecteur aléatoire : $\ \scriptstyle\ X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in\R^n$ ou $\scriptstyle\ X\ :\ \omega\ \mapsto\ X(\omega)\in \C^n$ . La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (p.e. une fonction de $\ \scriptstyle C(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^d)$ ), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, ...) un gain. Cette association éventualité-gain amena à concevoir une fonction de manière plus générale à partir d'une éventualité. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure .

Définition — Soient $\ \scriptstyle (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé et $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de $\ \scriptstyle\Omega$ vers $\ \scriptstyle E$ , toute fonction mesurable $\ \scriptstyle X\$ de $\ \scriptstyle\Omega$ vers $\ \scriptstyle E$ .

Cette condition de mesurabilité de $\ \scriptstyle X$ assure que l'image réciproque par $\ \scriptstyle X$ de tout élément $\ \scriptstyle B$ de la tribu $\ \scriptstyle \mathcal{E}$ possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})$ , une mesure de probabilité, notée $\ \scriptstyle \mathbb{P}_X$ , par

$\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).$

La mesure $\ \scriptstyle \mathbb{P}_X$ est l'image, par l'application $\ \scriptstyle X\$ , de la probabilité $\ \scriptstyle \mathbb{P}$ définie sur $\ \scriptstyle (\Omega, \mathcal{F})$ .

Définition — La probabilité $\ \scriptstyle \mathbb{P}_X$ est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire $\ \scriptstyle X\$ .

[modifier] Exemples

Dans la suite, $\ \scriptstyle \mathcal{B}(E)$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique $\ \scriptstyle E$ .

Lorsque $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})=(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ , on dit que $\ \scriptstyle X$ est une variable aléatoire réelle.
Lorsque, pour un entier $\ \scriptstyle d\ge 1$ , $\ \scriptstyle (E, \mathcal{E})=(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ , on dit que $\ \scriptstyle X$ est un vecteur aléatoire.
Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable $\ \scriptstyle S\subset E$ tel que $\ \scriptstyle \mathbb{P}(X\in S)=1$ , on dit que $\ \scriptstyle X$ est une variable discrète. Par exemple, le choix $\ \scriptstyle (S,E)=(\mathbb{N},\mathbb{R})$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variables aléatoires réelles.
Le mouvement brownien $\ \scriptstyle B=(B(t))_{t\ge 0}$ , qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire $\ \scriptstyle B$ à valeurs dans l'espace $\ \scriptstyle E=C(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^3)$ des fonctions continues de $\ \scriptstyle \mathbb{R}_+$ dans $\ \scriptstyle \mathbb{R}^3$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque $\ \scriptstyle t\ge 0$ , $\ \scriptstyle B(t)$ , qui représente la position de la particule à l'instant $\ \scriptstyle t$ , est une variable aléatoire réelle dont la loi est gaussienne. Ainsi $\ \scriptstyle B$ peut aussi être vu comme une famille de variables aléatoires réelles.