Variable aléatoire

Cet article concerne les variables aléatoires dans leur généralité. Pour les variables aléatoires à valeurs réelles, voir variable aléatoire réelle. Pour les variables aléatoires multivariées ou vecteurs aléatoires, voir vecteur aléatoire.

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est souvent à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle : $X\colon\omega\mapsto X(\omega)\in\R$ . La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de $\R^n$ ou $\C^n$ , et on parle alors de vecteur aléatoire : $X\colon\omega\mapsto X(\omega)\in\R^n$ ou $X\colon\omega\mapsto X(\omega)\in \C^n$ . La variable aléatoire peut encore associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (par exemple une fonction de $\mathcal{C}(\R_+,\R^d)$ ), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, ...) un gain. Cette association éventualité-gain a donné lieu par la suite à la conception d'une fonction de portée plus générale. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Définition — Soient $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(E, \mathcal{E})$ un espace mesurable. On appelle variable aléatoire de $\Omega$ vers E, toute fonction mesurable X de $\Omega$ vers E.

Cette condition de mesurabilité de X assure que l'image réciproque par X de tout élément B de la tribu E possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur $(E, \mathcal{E})$ , une mesure de probabilité, notée $\mathbb{P}_X$ , par

$\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(X^{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).$

La mesure $\mathbb{P}_X$ est l'image, par l'application X, de la probabilité $\mathbb{P}$ définie sur $(\Omega, \mathcal{F})$ .

Définition — La probabilité $\mathbb{P}_X$ est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Exemples [modifier]

Dans la suite, $\mathcal{B}(E)$ désigne la tribu borélienne de l'espace topologique E.

Lorsque $(E, \mathcal{E}) := (\R,\mathcal{B}(\R))$ , on dit que X est une variable aléatoire réelle.
Lorsque, pour un entier $d\geqslant 1$ , $(E, \mathcal{E}) := (\R^d,\mathcal{B}(\R^d))$ , on dit que X est un vecteur aléatoire.
Lorsqu'il existe un ensemble fini ou dénombrable $S\subset E$ tel que $\mathbb{P}(X\in S) = 1$ , on dit que X est une variable discrète. Par exemple, le choix $(S,E) := (\N,\R)$ permet de voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variables aléatoires réelles.
Le mouvement brownien $B := (B(t))_{t\geqslant 0}$ , qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire B à valeurs dans l'espace $E := \mathcal{C}(\R_+,\R^3)$ des fonctions continues de $\R_+$ dans $\R^3$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque $t\geqslant 0$ , B(t), qui représente la position de la particule à l'instant t, est une variable aléatoire réelle dont la loi est gaussienne. Ainsi, B peut aussi être vu comme une famille de variables aléatoires réelles.