Loi hyper-exponentielle

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Loi hyper-exponentielle
Image illustrative de l'article Loi hyper-exponentielle
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres n=1,2,...
0 < p_i\leq 1 paramètres de mélange
\lambda_i>0
Support x \in [0; +\infty[\,
Densité de probabilité (fonction de masse)  \sum_{i=1}^n p_i \lambda_i e^{-\lambda_i y}
Fonction de répartition  1-\sum_{i=1}^n p_i e^{-\lambda_i y}
Espérance \sum_{i=1}^n\frac{p_i}{\lambda_i}
Variance \sum_{i=1}^n\frac{p_i}{\lambda_i^2}
Fonction caractéristique \displaystyle \prod_{i=1}^N\frac{\lambda_i p_i}{\lambda_i+\xi}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi hyper-exponentielle (ou loi hyper-exponentielle-n) est une loi de probabilité continue mélangeant plusieurs lois exponentielles. Elle dépend de trois paramètres : n le nombre de lois exponentielles indépendantes, \scriptstyle (\lambda_i,1\leq i \leq n) les paramètres de ces lois exponentielles et \scriptstyle (p_i,1\leq i \leq n) une pondération de ces lois. Le terme hyper vient du fait que le coefficient de variation de la loi est supérieur à un, comparativement à la loi hypo-exponentielle dont le coefficient de variation est inférieur à un et à la loi exponentielle dont le coefficient vaut un.

C'est une loi utilisée dans la théorie des files d'attente[1] dans le cas d'une simulation de n serveurs en parallèle.

Définition[modifier | modifier le code]

La loi hyper-exponentielle est, en un certain sens, un mélange de plusieurs lois exponentielles. Notons \scriptstyle (X_i,1\leq i \leq n) n lois exponentielles indépendantes de paramètres respectifs \scriptstyle (\lambda_i,1\leq i \leq n) : X_i \sim \mathcal E(\lambda_i).

Les paramètres de mélange sont notés \scriptstyle (p_i,1\leq i \leq n) et vérifient

\scriptstyle \sum_{i=1}^n p_i=1,

Alors la loi de Y peut être obtenue de la manière suivante : on tire avec probabilité p_i le paramètre \lambda_i que l'on prendra pour la loi exponentielle E(\lambda_i) que suivra Y. On obtient ainsi une loi hyper-exponentielle de paramètres n, (\scriptstyle p_i), (\scriptstyle \lambda_i). Cette loi sera notée : Y\sim H_n((p_i),(\lambda_i)).

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi hyper-exponentielle est la somme des densités des lois exponentielles :

f_Y(y):=\begin{cases} \sum_{i=1}^n p_i \lambda_i e^{-\lambda_i y} &\text{ si } y>0 \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

La fonction de répartition est donnée par :

F_Y(y):=\begin{cases} 1-\sum_{i=1}^n p_i e^{-\lambda_i y} &\text{ si } y>0 \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

L'espérance et la variance sont les sommes des espérances et variance des lois exponentielles :

\mathbb E(Y)= \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{\lambda_i} et \operatorname{Var} (Y)= \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{\lambda_i^2}

Applications[modifier | modifier le code]

Puisque la loi exponentielle permet de simuler le temps de vie d'équipements en série, la loi hyper-exponentielle permet de simuler le temps nécessaire jusqu'à la prochaine réparation d'un système d'équipements en série lorsque le temps de vie peut être très court ou très long[2].

En remplaçant l'idée de panne d'un appareil par l'idée plus générale d'un évènement, par exemple l'arrivée d'un client ou d'un appel téléphonique, la loi hyper-exponentielle modélise le temps d'attente jusqu'au prochain appel dans un centre d'appel contenant n serveurs.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Pierre-Jean Erard et Pontien Déguénon, Simulation par évènements discrets, Presses polytechniques et universitaires romandes,‎ 1996, 1e éd., 425 p. (ISBN 2-88074-295-1, lire en ligne), p. 272
  2. (en) A.K.S. Jardine, Operational research in maintenance, Manchester university press,‎ 1970, 233 p. (lire en ligne), p. 22