Loi de Delaporte

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Loi de Delaporte
Image illustrative de l'article Loi de Delaporte
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi de Delaporte
Fonction de répartition

Paramètres \lambda > 0
\alpha, \beta > 0
Support k \in \{0, 1, 2, \ldots\}
Densité de probabilité (fonction de masse) \sum_{i=0}^k\frac{\Gamma(\alpha + i)\beta^i\lambda^{k-i}e^{-\lambda}}{\Gamma(\alpha)i!(1+\beta)^{\alpha+i}(k-i)!}
Fonction de répartition \sum_{j=0}^k\sum_{i=0}^j\frac{\Gamma(\alpha + i)\beta^i\lambda^{j-i}e^{-\lambda}}{\Gamma(\alpha)i!(1+\beta)^{\alpha+i}(j-i)!}
Espérance \lambda + \alpha\beta
Mode voir l'article
Variance \lambda + \alpha\beta(1+\beta)
Asymétrie voir l'article
Kurtosis normalisé voir l'article

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Delaporte est une loi de probabilité discrète qui est particulièrement utilisée en science actuarielle[1],[2]. Cette loi est la convolution d'une loi binomiale négative avec une loi de Poisson[2]. Puisque la loi binomiale négative peut être vue comme une loi de Poisson dont le paramètre de moyenne est lui-même une variable aléatoire de loi gamma, la loi de Delaporte peut être vue comme une loi composée d'une loi de Poisson où le paramètre de moyenne se décompose en deux composants : un composant fixe de paramètre \scriptstyle\lambda, et un composant de loi gamma de paramètres \scriptstyle\alpha et \scriptstyle\beta[3].

Le nom de cette loi est issue de Pierre Delaporte qui proposa une relation avec le comptage des accidents de voitures en 1959[4], bien qu'elle apparaisse plus tôt sous différentes formes en 1934 dans un article de Rolf von Lüders[5] où la loi est appelée formulation II (Formel II distribution en allemand).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le mode de la loi de Delaporte est donnée par :

\begin{cases}z, z+1 & \text{, si }z\text{ est l'entier } z = (\alpha-1)\beta+\lambda\\ \lfloor z \rfloor & \textrm{,  sinon.}\end{cases}

L'asymétrie de la loi de Delaporte est donnée par :

\gamma_1=\frac{\lambda + \alpha\beta(1+3\beta+2\beta^2)}{\left(\lambda + \alpha\beta(1+\beta)\right)^{\frac{3}{2}}}.

Le kurtosis de la loi de Delaporte est donnée par :

\gamma_2=\scriptstyle\frac{\lambda+3\lambda^2+\alpha\beta(1+6\lambda+6\lambda\beta+7\beta+12\beta^2+6\beta^3+3\alpha\beta+6\alpha\beta^2+3\alpha\beta^3)}{\left(\lambda + \alpha\beta(1+\beta)\right)^2}.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Discrete Parametric Distributions, John Wiley & Sons, Jozef L. Teugels & Bjørn Sundt, Encyclopedia of Actuarial Science,‎ 2006 (ISBN 978-0-470-01250-5)
  2. a et b (en) Norman Lloyd Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate discrete distributions, Hoboken, John Wiley & Sons,‎ 2005, 3e éd. (ISBN 978-0-471-27246-5), p. 241–242
  3. (en) David Vose, Risk analysis: a quantitative guide, Chichester, John Wiley & Sons,‎ 2008, 3e éd. (ISBN 978-0-470-51284-5, LCCN 2007041696), p. 618–619
  4. Pierre J. Delaporte, « Quelques problèmes de statistiques mathématiques poses par l’Assurance Automobile et le Bonus pour non sinistre », Bulletin Trimestriel de l'Institut des Actuaires Français, vol. 227,‎ 1960, p. 87–102
  5. (de) Rolf von Lüders, « Die Statistik der seltenen Ereignisse », Biometrika, vol. 26,‎ 1934, p. 108–128 (DOI 10.1093/biomet/26.1-2.108, JSTOR 2332055)
  • (en) M. Murat et D. Szynal, « On moments of counting distributions satisfying the k'th-order recursion and their compound distributions », Journal of Mathematical Sciences, vol. 92, no 4,‎ 1998, p. 4038–4043 (DOI 10.1007/BF02432340)