Loi de Nakagami

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Loi de Nakagami
Image illustrative de l'article Loi de Nakagami
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres m \geq 1/2, paramètre de forme
\omega > 0, propagation
Support x > 0\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{2m^m}{\Gamma(m)\omega^m} x^{2m-1} \exp\left(-\frac{m}{\omega}x^2 \right)
Fonction de répartition \frac{\gamma \left(m,\frac{m}{\omega} x^2\right)}{\Gamma(m)}
Espérance \frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\left(\frac{\omega}{m}\right)^{1/2}
Médiane \sqrt{\omega}\!
Mode \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{(2m-1)\omega}{m}\right)^{1/2}
Variance \omega\left(1-\frac{1}{m}\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\right)^2\right)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Nakagami ou loi de m-Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support [0,\infty[. Le paramètre m>0 est un paramètre de forme, le second paramètre \omega>0 permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma, son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donné par[1] :

 f(x;\,m,\omega) = \begin{cases}\displaystyle \frac{2m^m}{\Gamma(m)\omega^m}x^{2m-1}\exp\left(-\frac{m}{\omega}x^2\right) & \text{ pour }x>0\\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

\Gamma est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

 F(x;\,\mu,\omega) = \begin{cases}\displaystyle P\left(m, \frac{\mu}{\omega}x^2\right) & \text{ pour }x>0\\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Estimation des paramètres[modifier | modifier le code]

Les paramètres m et \omega sont[2] :

 \mu = \frac{\mathbb E^2 \left[X^2 \right]}
                   {Var \left[X^2 \right]},

et

 \omega = \mathbb E \left[X^2 \right].

Simulation[modifier | modifier le code]

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, Y \, \sim \textrm{Gamma}(k, \theta), il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, X \, \sim \textrm{Nakagami} (\mu, \omega), en posant k=m, \theta=\omega / m , et en considérant la racine carrée de Y :

 X = \sqrt{Y} \,.

Historique et applications[modifier | modifier le code]

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960[3], c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins[4].

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Matthias Pätzold, Mobile Radio Channels, Wiley,‎ 2012, 2e éd., 583 p. (ISBN 978-0-470-51747-5, lire en ligne), p. 30
  2. R. Kolar, R. Jirik, J. Jan (2004) "Estimator Comparison of the Nakagami-m Parameter and Its Application in Echocardiography", Radioengineering, 13 (1), 8–12
  3. M. Nakagami. "The m-Distribution, a general formula of intensity of rapid fading". In William C. Hoffman, editor, Statistical Methods in Radio Wave Propagation: Proceedings of a Symposium held June 18-20, 1958, pp 3-36. Permagon Press, 1960.
  4. J. D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel. New York: Wiley, 1992.