Loi de von Mises

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Laplace
Image illustrative de l'article Loi de von Mises
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Densité de la loi de von Mises sur [–π, π]

Image illustrative de l'article Loi de von Mises
Fonction de répartition
Répartition de la loi de von Mises sur [–π, π]

Paramètres \mu réel,
\kappa>0
Support x\in tout intervalle de longueur
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{{\rm e}^{\kappa\cos(x-\mu)}}{2\pi I_0(\kappa)}
Fonction de répartition ne peut être exprimée
Espérance \mu
Médiane \mu
Mode \mu
Variance \textrm{var}(x)=1-I_1(\kappa)/I_0(\kappa) (circulaire)
Entropie -\kappa\frac{I_1(\kappa)}{I_0(\kappa)}+\ln[2\pi I_0(\kappa)] (différentielle)
Fonction caractéristique \frac{I_{|n|}(\kappa)}{I_0(\kappa)}{\rm e}^{{\rm i}n \mu}

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi (distribution) de von Mises (appelée également distribution normale circulaire ou distribution de Tikhonov) est une densité de probabilité continue, nommée d'après Richard von Mises. Elle donne une bonne approximation de la loi normale périodique (en), qui est l'analogue circulaire de la loi normale. Un angle de diffusion \theta parcourant un cercle est une variable aléatoire suivant la loi normale périodique avec une variance non-périodique qui croît linéairement en temps. D'un autre côté, la loi de von Mises est la distribution stationnaire d'un processus de diffusion et déviation sur le cercle dans un potentiel harmonique, i.e. avec une orientation guidée[1].

La loi de von Mises est la loi de probabilités à entropie maximale pour une valeur donnée de z={\rm e}^{{\rm i}\theta}. La loi de von Mises est un cas particulier de la loi de von Mises-Fisher (en) sur la N-sphère.

Définition[modifier | modifier le code]

La densité de probabilités de la loi de von Mises pour un angle x est donnée par[2] :

f(x\mid\mu,\kappa)=\frac{{\rm e}^{\kappa\cos(x-\mu)}}{2\pi I_0(\kappa)}

I0(x) est la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0.

Les paramètres μ et 1/κ sont analogues aux μ et σ2 (moyenne et variance) de la loi normale :

  • μ est une mesure de localisation (la distribution est centrée autour de μ),
  • κ est une mesure de la concentration (une mesure réciproque de la dispersion statistique).
    • Si κ est nul, la distribution est uniforme.
    • Si κ est très grand, la distribution devient très concentrée autour de μ.

La densité de probabilités peut être exprimée comme une série de fonctions de Bessel[3]

 f(x\mid\mu,\kappa) = \frac{1}{2\pi}\left(1+\frac{2}{I_0(\kappa)} \sum_{j=1}^\infty I_j(\kappa) \cos[j(x-\mu)]\right)

Ij(x) est la fonction de Bessel modifiée d'ordre j.

La fonction de répartition n'est pas analytique et est généralement calculée comme intégrale de la série donnée précédemment. L'intégrale indéfinie de la densité de probabilités est :

\Phi(x\mid\mu,\kappa)=\int f(t\mid\mu,\kappa)\,{\rm d}t =\frac{1}{2\pi}\left(x + \frac{2}{I_0(\kappa)} \sum_{j=1}^\infty I_j(\kappa) \frac{\sin[j(x-\mu)]}{j}\right).

Moments[modifier | modifier le code]

Les moments de la loi de von Mises sont habituellement calculés comme les moments de z = eix plutôt que de l'angle x. On appelle ces moments « moments circulaires ». La variance calculée à partir de ces moments est également appelée « variance circulaire ». Toutefois, on désigne par la « moyenne » l'argument de la moyenne circulaire, et non la moyenne circulaire elle-même.

Le moment d'ordre n de z est :

m_n=\langle z^n\rangle=\int_\Gamma z^n\,f(x|\mu,\kappa)\,{\rm d}x= \frac{I_{|n|}(\kappa)}{I_0(\kappa)}{\rm e}^{{\rm i}n \mu}

où l'intégrale se fait sur tout intervalle Γ de longueur . En calculant cette intégrale, on utilise le fait que zn = cos(nx) + i sin(nx) et l'identité de Bessel[4] :

I_n(\kappa)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi{\rm e}^{\kappa\cos(x)}\cos(nx)\,{\rm d}x.

La moyenne de z  est alors donnée par

m_1= \frac{I_1(\kappa)}{I_0(\kappa)}{\rm e}^{{\rm i}\mu}

est la valeur « moyenne » de x est ainsi l'argument μ. Il s'agit donc de la direction moyenne de variables aléatoires angulaires. La variance de z, ou variance circulaire de x est :

\textrm{Var}(x)= 1-E[\cos(x-\mu)]= 1-\frac{I_1(\kappa)}{I_0(\kappa)}.

Entropie[modifier | modifier le code]

L'entropie de la loi de von Mises est donnée par[2] :

H = -\int_\Gamma f(\theta;\mu,\kappa)\,\ln(f(\theta;\mu,\kappa))\,{\rm d}\theta\,

Γ est un intervalle de longueur . Le logarithme de la densité de la loi de von Mises est directement donné par :

\ln(f(\theta;\mu,\kappa))=-\ln(2\pi I_0(\kappa))+ \kappa \cos(\theta).

La fonction caractéristique de la loi est donc :

f(\theta;\mu,\kappa) =\frac{1}{2\pi}\left(1+2\sum_{n=1}^\infty\phi_n\cos(n\theta)\right)

avec \phi_n= I_{|n|}(\kappa)/I_0(\kappa). Les calculs donnent alors :

H = \ln(2\pi I_0(\kappa))-\kappa\phi_1 = \ln(2\pi I_0(\kappa))-\kappa\frac{I_1(\kappa)}{I_0(\kappa)}

On retrouve, pour κ = 0, que la loi de von Mises est la loi uniforme circulaire (en) et l'entropie devient maximale et vaut ln(2π).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) H. Risken, The Fokker–Planck Equation, Springer,‎ 1989 (ISBN 978-3-540-61530-9, lire en ligne).
  2. a et b (en) Kantilal Mardia (en) et Peter E. Jupp, Directional Statistics, Wiley,‎ 1999 (ISBN 978-0-471-95333-3, lire en ligne).
  3. Voir (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne) §9.6.34.
  4. Voir Abramowitz Stegun, §9.6.19.
  • (en) Mardia, « Algorithm AS 86: The von Mises Distribution Function », Applied Statistics, vol. 24, 1975, p. 268-272
  • (en) Hill, « Algorithm 518, Incomplete Bessel Function I0: The von Mises Distribution », ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 3, n° 3, september 1977, p. 279-284
  • (en) D. Best et N. Fisher, « Efficient simulation of the von Mises distribution », Applied Statistics, vol. 28, 1979, p. 152-157
  • (en) M. Evans, N. Hastings et B. Peacock, « von Mises Distribution », ch. 41 in Statistical Distributions, 3e éd., New York, Wiley, 2000
  • (en) Nicholas I. Fisher, Statistical Analysis of Circular Data, New York, Cambridge, 1993
  • (en) M. Evans, N. Hastings et B. Peacock, Statistical Distributions, 2e éd., John Wiley and Sons, 1993 (ISBN 0-471-55951-2), chap. 39
  • (en) Graham Borradaile, Statistics of Earth Science Data, Springer,‎ 2003 (ISBN 978-3-540-43603-4, lire en ligne)