Loi Gamma

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Loi Gamma
Image illustrative de l'article Loi Gamma
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres k > 0\, réel
 \theta > 0\, réel
Support x \in [0,+  \infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) x^{k-1} \frac{\exp\left(-x/\theta\right)}{\Gamma(k)\,\theta^k}
Fonction de répartition \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}
Espérance k \theta\,
Médiane pas d'expression formelle
Mode (k-1) \theta\, pour k \geq 1\,
Variance k \theta^2\,
Asymétrie \frac{2}{\sqrt{k}}
Kurtosis normalisé \frac{6}{k}
Entropie k\theta+(1-k)\ln(\theta)+\ln(\Gamma(k))\,
+(1-k)\psi(k)\,
Fonction génératrice des moments (1 - \theta\,t)^{-k} pour t < 1/\theta
Fonction caractéristique (1 - \theta\,i\,t)^{-k}

En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma ou loi Gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut, entre autres, la loi du χ² et les distributions exponentielles. Une distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres qui affectent respectivement la forme et l'échelle de sa représentation graphique. Les distributions Gamma sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes se déroulant au cours du temps où par essence, le temps écoulé est une grandeur réelle positive ; c'est le cas par exemple dans l'analyse de survie.

Une variable aléatoire X suit une loi Gamma de paramètres k et \theta (strictement positifs), ce que l'on note aussi X \, \sim \Gamma(k, \theta) (où la lettre grecque \Gamma est la majuscule du \gamma (gamma)) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

f(x;k,\theta) = \frac{x^{k-1} e^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma ( k)\theta ^k}

Nota bene : Cette équation fait intervenir \Gamma la fonction Gamma d'Euler.

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme \alpha = k et d'un paramètre d'intensité \beta = 1/\theta:

 f(x;\alpha,\beta) = x^{\alpha-1}  \frac{\beta^{\alpha} \, e^{-\beta\,x} }{\Gamma(\alpha)}  \ \mathrm{pour}\ x > 0 \,\!.

Les deux paramétrages sont aussi répandus, selon la configuration.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Somme[modifier | modifier le code]

Si chaque Xi suit la loi Γ(ki, θ) pour i = 1, 2, ...,  N, et si les variables aléatoires Xi sont indépendantes, alors :


\sum_{i=1}^N X_i
\sim
\Gamma  \left( \sum_{i=1}^N k_i, \theta \right) \,\!

Scaling[modifier | modifier le code]

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ(k,  tθ), où θ est le paramètre d'échelle.

ou

Pour tout t > 0, la variable tX est distribuée selon Γ(α,  (1/t)β) où β est le paramètre d'intensité (rate parameter).

Lien avec les autres distributions[modifier | modifier le code]

Contraintes sur les paramètres[modifier | modifier le code]

  • Si X \sim {\Gamma}(k=1, \theta=1/\lambda)\,, alors X a une distribution exponentielle de paramètre λ.
  • Si X \sim {\Gamma}(k=\nu/2, \theta=2)\,, alors X est identique à une variable χ2(ν), la distribution de la loi du χ² avec ν degré de liberté.
  • Si k est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang;
  • Si X^2 \sim {\Gamma}(3/2, 2a^2)\,, alors X a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre a.

Autres manipulations[modifier | modifier le code]

  • Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi Gamma inverse, de paramètres k et θ-1.
  • Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
  • Si Xi sont distribuées selon des lois Γ(αi, θ) respectivement, alors le vecteur (X1 / S,  ...,  Xn / S), où S = X1 + ... + Xn, suit une distribution de Dirichlet de paramètres α1,  ...,  αn.
  • Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne \mu = (k-1)\theta et de variance \sigma^2 = (k-1)\theta^2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]