Loi stable

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Loi Stable
Image illustrative de l'article Loi stable
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Symmetric stable distributions
Symmetric
α-distribution stable avec une facteur d'échelle unitaire
Skewed centered stable distributions
Skewed centered stable distributions with unit scale factor

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Fonction de répartition
CDF's for symmetric α-stable distributions
CDFs for symmetric
α-stable distributions
CDF's for skewed centered Lévy distributions
CDFs for skewed centered stable distributions

Paramètres α ∈ (0,2] — paramètre de stabilité

β ∈ [−1,1] — paramètre d'asymétrie
c ∈ (0, ∞) — paramètre d'échelle
μ ∈ (−∞, ∞) — moyenne

Support xR, or x ∈ [μ, +∞) if α < 1 and β = 1, or x ∈ (-∞,μ] if α < 1 and β = -1
Densité de probabilité (fonction de masse) pas expressible analytiquement, sauf pour quelques valeur de paramètres
Fonction de répartition pas expressible analytiquement, sauf pour quelques valeur de paramètres
Espérance μ quand α > 1, sinon indéfini
Médiane μ quand β = 0, sinon pas expressible analytiquement
Mode μ quand β = 0, sinon pas expressible analytiquement
Variance 2c2 quand α = 2, sinon indéfini
Asymétrie 0 quand α = 2, sinon indéfini
Kurtosis normalisé 0 quand α = 2, sinon indéfini
Entropie pas expressible analytiquement, sauf pour quelques valeur de paramètres
Fonction génératrice des moments indéfini
Fonction caractéristique \exp\!\Big[\; it\mu - |c\,t|^\alpha\,(1-i \beta\,\mbox{sgn}(t)\Phi) \;\Big],

\Phi = \begin{cases} \tan\tfrac{\pi\alpha}{2} & \text{if }\alpha \ne 1 \\
                   -\tfrac{2}{\pi}\log|t| & \text{if }\alpha = 1 \end{cases}

La loi stable ou distribution de Lévy tronquée, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité utilisée en mathématiques, physique et analyse quantitative (finance de marché).

Définition[modifier | modifier le code]

Une loi stable a pour propriété : si X_1, X_2,\dots,X_n sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi la loi stable, alors il existe a_n et b_n tels que la somme Y = a_n (X_1 + X_2 + \cdots + X_n) + b_n a également pour loi la loi stable.

La fonction caractéristique de la loi stable est :

\Phi(t;\alpha,\beta,\lambda,\mu) = \exp\left[~it\mu\!-\!|\lambda t|^\alpha\,(1\!-\!i \beta \operatorname{sign}(t)\Omega)\right] ,
\Omega = \begin{cases} \tan\tfrac{\pi\alpha}{2} & \text{si }\alpha \ne 1 ,\\ -\tfrac{2}{\pi}\log|t| & \text{si }\alpha = 1. \end{cases}

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Elle a pour cas particuliers :

  • La loi de Lévy (paramètres α=1/2 et beta=1), définie par une formule analytique explicite.
  • La loi normale (paramètre α=2), définie par une formule analytique explicite.
  • La loi de Cauchy (paramètre α=1), définie par une formule analytique explicite.

Gnedenko et Kolmogorov ont établi une généralisation du théorème de la limite centrale selon laquelle la somme de variables aléatoires ayant des queues de distribution décroissantes selon 1/|x|α+1 avec 0 < α < 2 (ayant donc une variance infinie) tend vers une loi stable de paramètre α.

Liens externes[modifier | modifier le code]