Loi de Wishart inverse

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Loi de Wishart inverse
Paramètres  \nu > p-1\! Degré de liberté
\mathbf{\Psi} > 0\, paramètre d'échelle inverse (p\times p matrice définie positive)
Support l'ensemble des matrices définies positives
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\left|{\mathbf\Psi}\right|^{\frac{\nu}{2}}}{2^{\frac{\nu p}{2}}\Gamma_p(\frac{\nu}{2})} \left|\mathbf{X}\right|^{-\frac{\nu+p+1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\operatorname{tr}({\mathbf\Psi}\mathbf{X}^{-1})}

\Gamma_p est la fonction gamma multidimensionnelle et \mathrm{tr} est la fonction trace

Espérance \frac{\mathbf{\Psi}}{\nu - p - 1}
Mode \frac{\mathbf{\Psi}}{\nu + p + 1}[1]
Variance voir l'article

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Wishart inverse, également appelée loi de Wishart inversée, est une loi de probabilité définie sur l'ensemble des matrices définies positives à coefficients réels.

Une variable qui suit une loi de Wishart inverse sera notée  \mathbf{X}\sim W^{-1}({\mathbf\Psi},\nu) et est définie par la loi de sa matrice inverse :  \mathbf{X}^{-1} suit une loi de Wishart  W({\mathbf \Psi}^{-1}, \nu) .

Densité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi de Wishart inverse est :

\frac{\left|{\mathbf\Psi}\right|^{\frac{\nu}{2}}}{2^{\frac{\nu p}{2}}\Gamma_p(\frac{\nu}{2})} \left|\mathbf{X}\right|^{-\frac{\nu+p+1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\operatorname{tr}({\mathbf\Psi}\mathbf{X}^{-1})}

\mathbf{X} et {\mathbf\Psi} sont des matrices définies positives p\times p et \Gamma_p est la fonction gamma multidimensionnelle.

Théorèmes[modifier | modifier le code]

Loi de l'inverse d'une matrice de loi de Wishart[modifier | modifier le code]

Si {\mathbf A}\sim W({\mathbf\Sigma},\nu) et {\mathbf\Sigma} est une matrice p \times p, alors \mathbf{X}={\mathbf A}^{-1} est de loi de Wishart inverse : \mathbf{X}\sim W^{-1}({\mathbf\Sigma}^{-1},\nu) [2].

Lois marginales et conditionnelles[modifier | modifier le code]

Supposons que {\mathbf A}\sim W^{-1}({\mathbf\Psi},\nu) est de loi de Wishart inverse. Séparons convenablement en deux matrices  {\mathbf A} et  {\mathbf\Psi}  :


    {\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{bmatrix}, \;
    {\mathbf{\Psi}} = \begin{bmatrix} \mathbf{\Psi}_{11} & \mathbf{\Psi}_{12} \\ \mathbf{\Psi}_{21} & \mathbf{\Psi}_{22} \end{bmatrix}

{\mathbf A_{ij}} et {\mathbf \Psi_{ij}} sont des matrices  p_{i}\times p_{j}, alors on obtient

i)  {\mathbf A_{11} } est indépendant de  {\mathbf A}_{11}^{-1}{\mathbf A}_{12} et de  {\mathbf A}_{22\cdot 1} , où {\mathbf A_{22\cdot 1}} = {\mathbf A}_{22} - {\mathbf A}_{21}{\mathbf A}_{11}^{-1}{\mathbf A}_{12} est le complément de Schur de  {\mathbf A_{11} } dans  {\mathbf A} ;

ii)  {\mathbf A_{11} } \sim W^{-1}({\mathbf \Psi_{11} }, \nu-p_{2}) ;

iii)  {\mathbf A}_{11}^{-1} {\mathbf A}_{12}| {\mathbf A}_{22\cdot 1} \sim MN_{p_{1}\times p_{2}}
( {\mathbf \Psi}_{11}^{-1} {\mathbf \Psi}_{12},  {\mathbf A}_{22\cdot 1} \otimes  {\mathbf \Psi}_{11}^{-1}) , où  MN_{p\times q}(\cdot,\cdot) est la loi normale matricielle;

iv)  {\mathbf A}_{22\cdot 1} \sim  W^{-1}({\mathbf \Psi}_{22\cdot 1}, \nu)

Moments[modifier | modifier le code]

Cette section est basée sur l'article [Press, 1982][3], après avoir reparamétré le degré de liberté pour être consistent avec la définition de la densité donnée ci-dessus.

La moyenne est[2] :

E(\mathbf X) = \frac{\mathbf\Psi}{\nu-p-1}.

La variance de chaque élément de \mathbf{X} est :

\operatorname{Var}(x_{ij}) = \frac{(\nu-p+1)\psi_{ij}^2 + (\nu-p-1)\psi_{ii}\psi_{jj}}{(\nu-p)(\nu-p-1)^2(\nu-p-3)}

a variance de la diagonale utile la même formule que ci-dessus avec i=j, ce qui se simplifie en :

\operatorname{Var}(x_{ii}) = \frac{2\psi_{ii}^2}{(\nu-p-1)^2(\nu-p-3)}.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Une version unidimensionnelle de la loi de Wishart inverse est la loi inverse-gamma. Avec p=1, c'est-à-dire unidimensionnel, \alpha = \nu/2, \beta = \mathbf{\Psi}/2 et x=\mathbf{X}, la densité de probabilité de la loi de Wishart inverse devient

p(x|\alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha\, x^{-\alpha-1} \exp(-\beta/x)}{\Gamma_1(\alpha)}.

c'est-à-dire, la loi inverse-gamma où \Gamma_1(\cdot) est la fonction gamma classique.

La loi de Wishart inverse est un cas particulier de la loi gamma inverse multidimensionnelle.

Références[modifier | modifier le code]

  1. A. O'Hagan, and J. J. Forster, Kendall's Advanced Theory of Statistics: Bayesian Inference, vol. 2B, Arnold,‎ 2004 (ISBN 0-340-80752-0)
  2. a et b Kanti V. Mardia, J. T. Kent and J. M. Bibby, Multivariate Analysis, Academic Press,‎ 1979 (ISBN 0-12-471250-9)
  3. Press, S. J. (1982) "Applied Multivariate Analysis", 2nd ed. (Dover Publications, New York)