Loi de Davis

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Loi de Davis
Paramètres b>0 paramètre d'échelle
 n> 0 paramètre de forme
\mu>0 Paramètre de position
Support x>\mu
Densité de probabilité (fonction de masse)  \frac{ b^n {(x-\mu)}^{-1-n} }{ \left( e^{\frac{b}{x-\mu}} -1 \right) \Gamma(n) \zeta(n) }
\Gamma(n) est la fonction Gamma et \zeta(n) est la fonction zêta de Riemann
Espérance \begin{cases}
              \mu + \frac{b\zeta(n-1)}{(n-1)\zeta(n)} & \text{si}\ n>2    \\
              \text{indéterminé} & \text{sinon}\ \end{cases}
Variance voir l'article

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Davis est une loi de probabilité continue. Son nom est issu de Harold T. Davis (1892–1974) qui introduisit[1] cette loi en 1941 comme modèle de revenus. Elle généralise la loi de Planck de radiation en physique statistique.

Définition[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi de Davis est donnée par

f(x;\mu,b,n)=\begin{cases} \frac{b^n}{\Gamma(n)\zeta(n)} \frac{(x-\mu)^{-1-n}}{e^{\frac{b}{x-\mu}} -1} & \text{si}\ n>3    \\ 0 & \text{sinon.}\ \end{cases}

\Gamma est la fonction gamma et \zeta est la fonction zêta de Riemann. Ici \scriptstyle \mu, b, and n sont les paramètres de la loi, et n est un entier.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La variance de la loi de Davis est :

Var(X)=\begin{cases} \frac{ b^2 \left( -(n-2){\zeta(n-1)}^2+(n-1)\zeta(n-2)\zeta(n) \right)}{(n-2) {(n-1)}^2 {\zeta(n)}^2} & \text{si}\ n>3    \\ \text{indéterminé} & \text{sinon.}\ \end{cases}

Motivation[modifier | modifier le code]

Afin de pouvoir donner une expression qui représente plus précisément la traine de la loi des revenus, Davis utilisa un modèle approprié avec les propriétés suivantes[2] :

  • il existe \mu>0 \, tel que, f(\mu)=0,
  • il y a un modèle de revenus,
  • pour x grand, le densité se comporte comme la distribution de Pareto :
 f(x) \sim A {(x-\mu)}^{-\alpha-1} \, .

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. The Theory of Econometrics and Analysis of Economic Time Series
  2. Christian Kleiber, Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley Series in Probability and Statistics,‎ 2003 [détail de l’édition] (ISBN 978-0471150640)