Convergence uniforme

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Suite de fonctions convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue.

La convergence uniforme d'une suite de fonctions \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour chaque point x, la suite \scriptstyle(f_n(x))_{n\in\N} ait une limite. La convergence devient uniforme quand toutes les suites \scriptstyle(f_n(x))_{n\in\N} avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ».

Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction fn se « rapproche » de celui de la limite.

Définition[modifier | modifier le code]

Convergence uniforme[modifier | modifier le code]

Soient X un ensemble[1], (Y, d) un espace métrique et A un sous-ensemble de X. Soient \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y et f une fonction définie sur X à valeurs dans Y. On dit que la suite (fn)n converge uniformément vers f sur A si :

(1)\quad\forall\varepsilon>0,\exists N_\varepsilon\in\N,\forall n\in\N,\quad\left[n\ge N_\varepsilon\Rightarrow \forall x\in A,d(f_n(x),f(x))\le\varepsilon\right].

Remarque : en introduisant la notation

d_{\infty,A}(f,g)=\sup_{x\in A}d(f(x),g(x))

(dans laquelle la borne supérieure peut a priori être infinie), la propriété (1) est équivalente à :

\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N,\forall n \in \N,\quad [ n \ge N_{\varepsilon} \Rightarrow d_{\infty,A}(f_n,f)\le \varepsilon].

Autrement dit, (fn)n converge uniformément vers f sur A si et seulement si

\lim_{n\rightarrow+\infty}d_{\infty,A}(f_n,f)=0.

Nuvola apps important.svg d_{\infty,A} n'est en général pas une distance[2] sur l'ensemble des fonctions de X dans Y.

Quelques explications[modifier | modifier le code]

On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions (fn)n converge simplement vers f sur A si :

\forall x \in A,\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon,x} \in \N,\forall n \in \N, n \ge N_{\varepsilon,x} \Rightarrow d(f_n(x),f(x)) < \varepsilon

Ici, l'indice N_{\varepsilon,x} dépend de x\in A alors que dans la proposition (1), l'indice N_{\varepsilon} n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine mais elle est pourtant essentielle :

  • Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément x de A, on peut trouver un rang à partir duquel la distance  d(f_n(x),f(x)) devient très petite. A priori, si l'on choisit un y dans A autre que x alors le rang à partir duquel la distance d(f_n(y),f(y)) devient très petite peut être différent.
  • Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance d(f_n(x),f(x)) devient très petite pour n'importe quel x\in A à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini).

Ainsi la série S_n=\sum_{k=0}^n x^{k} converge simplement mais pas uniformément sur ]–1, 1[, un problème survenant aux bords de l'intervalle.

Critère de Cauchy uniforme[modifier | modifier le code]

Supposons que l'espace métrique (Y, d) est complet.

(C'est le cas de bon nombre d'espaces métriques usuels, comme par exemple de \scriptstyle(\R,| \cdot |) la droite réelle munie de sa valeur absolue ou plus généralement de tout espace de Banach.)

Sous cette hypothèse, une suite de fonctions (fn)n converge uniformément sur A si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme, à savoir :

\forall \varepsilon  >0, \exists N_{\varepsilon } \in \N,\forall p,q\in\N,\left[p,q \ge N_{\varepsilon } \Rightarrow \forall x \in A, d(f_p(x),f_q(x)) \le \varepsilon\right]\ .

Comme dans le cas des suites de Cauchy, il n'est pas nécessaire d'exhiber la fonction vers laquelle tend une suite de fonctions pour montrer que la convergence est uniforme.

Convergence uniforme de fonctions continues[modifier | modifier le code]

Contre-exemple : les fonctions continues en vert fn(x)=sinn(x) convergent vers la fonction discontinue en rouge mais la convergence n'est pas uniforme.

On a le résultat fondamental suivant :

Si (fn)n est une suite de fonctions continues convergeant uniformément

sur X vers une fonction f alors f est continue sur X.

Quand X n'est pas compact, la convergence uniforme est un phénomène rare. Par exemple, \left(1+\frac zn\right)^n converge uniformément sur tout compact (en) de ℂ vers ez quand l'entier n tend vers l'infini, mais pas sur ℂ ; une série entière de rayon de convergence R converge uniformément sur tout compact contenu dans le disque ouvert de centre 0 et de rayon R, mais on ne peut pas dire mieux en général.

En fait, la continuité étant une propriété locale, la convergence uniforme sur "suffisamment" de parties de X suffit à assurer la continuité de la fonction limite.

Exemples

  • Lorsque X est localement compact, si une suite (fn)n de fonctions continues converge vers une fonction f uniformément sur tout compact de X alors f est continue.
  • On a la même conclusion lorsque X est un espace métrique et a un point arbitraire fixé de X, si la convergence uniforme a lieu sur toute boule fermée de centre a. C'est ainsi que l'on démontre par exemple la continuité de la fonction exponentielle dans une algèbre de Banach.

Le résultat suivant, moins fort que le théorème de convergence dominée, est aussi beaucoup moins difficile à montrer.

Si X = [a,b] est un intervalle de ℝ, si Y = ℝ ou Y = ℂ, et si une suite de fonctions (fn)n intégrables converge uniformément vers une fonction f, alors f est intégrable et

\lim_{n\to+\infty}\int_a^bf_n(x)~\mathrm dx=\int_a^bf(x)~\mathrm dx.

Son utilisation est à la base du résultat suivant d'analyse complexe :

Soit (fn)n une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de ℂ, convergeant uniformément sur tout compact de U vers une fonction f. Alors f est holomorphe.

On notera également l'existence du résultat suivant, assurant la convergence sur les dérivées :

Soit (fn)n une suite de fonctions de classe C1 sur un intervalle de ℝ, si Y = ℝ, convergeant simplement vers une fonction f, et telles que la suite des dérivées (f_n')_n converge uniformément sur tout compact de U vers une fonction φ. Alors f est de classe C1 et f'=\varphi.

Distance uniforme[modifier | modifier le code]

Dans le cas général, on munit l'ensemble YX des applications de X dans Y de la distance uniforme sur X, définie par

e_{\infty,X}(f,g)=\min(1,d_{\infty,X}(f,g)),

où, rappelons-le,

d_{\infty,X}(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))\ .

On peut alors reformuler l'essentiel de ce qui précède :

  • Définition de la convergence uniforme : (fn)n converge uniformément vers f sur X si et seulement si \lim_{n\to\infty}f_n=f dans l'espace métrique (Y^X,e_{\infty,X}).
  • Critère de Cauchy uniforme : si (Y,d) est complet alors (Y^X,e_{\infty,X}) l'est aussi.
  • Convergence uniforme de fonctions continues : si X est muni d'une topologie, le sous-ensemble \mathcal C(X,Y) des applications continues est fermé dans (Y^X,e_{\infty,X}) (donc est complet si Y l'est).

Diverses hypothèses sur les espaces X et Y peuvent simplifier ou enrichir cette situation :

  • Si X est un espace compact alors sur \mathcal{C}(X,Y), l'application d_{\infty,X} est déjà une distance (sur ce sous-espace, elle ne prend que des valeurs finies), et est uniformément équivalente à e_{\infty,X}.
  • Si de plus Y est un espace vectoriel normé (dont la distance d est celle associée à la norme ║ ║ par : d(y,y')=\|y-y'\|), alors \mathcal{C}(X,Y) est un espace vectoriel, sur lequel la distance d_{\infty,X} est, elle aussi, associée à une norme, définie par :\|f\|_{\infty,X}= \sup_{x \in X} (\|f(x)\|).En particulier si Y est un espace de Banach alors \mathcal{C}(X,Y) aussi.

Critères de convergence uniforme pour les séries[modifier | modifier le code]

Dans cette section, il n'est envisagé que le cas des fonctions réelles d'une variable réelle.

On trouve dans la littérature[3] la mention de nombreux tests de convergence uniforme portant les noms d'Abel, de Dedekind, de du Bois-Reymond, de Dirichlet, de Weierstrass… Ces critères sont des critères pratiques, cas particuliers de la formule de sommation partielle d'une série, plus faciles à appliquer.

Critère de Weierstrass[modifier | modifier le code]

«  La série \sum a_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si les fonctions a_n(x) sont chacune majorées en valeur absolue sur l'intervalle I par un nombre \alpha_n et que la série \sum \alpha_n est convergente. »

On dit dans ce cas que l'on a une série normalement convergente.

Critère d'Abel[modifier | modifier le code]

« La série \sum a_n(x)b_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si la série \sum a_n(x) converge uniformément dans I, si de plus, pour toute valeur fixée de x, la suite b_n(x) est monotone et enfin s'il existe un nombre K indépendant de x qui majore |b_n(x)| pour tout x de I et tout n. »

On exprime cette dernière condition en disant que les fonctions b_n(x) sont uniformément bornées dans I.

Critère de Dirichlet[modifier | modifier le code]

« La série \sum a_n(x)b_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si les sommes partielles de la série \sum a_n(x) sont uniformément bornées dans I et si les fonctions b_n(x) convergent uniformément dans I vers 0, la convergence étant monotone pour tout x fixé. »

Critère de Dedekind[modifier | modifier le code]

« La série \sum a_n(x)b_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si la série \sum a_n(x) admet des sommes partielles uniformément bornées, les fonctions b_n(x) tendent vers 0 uniformément dans I et que la série \sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)| converge uniformément dans I. »

Critère de du Bois-Reymond[modifier | modifier le code]

«  La série \sum a_n(x)b_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si les séries \sum a_n(x) et \sum|b_n(x)-b_{n+1}(x)| convergent uniformément dans I, les fonctions b_n(x) étant de plus uniformément bornées dans I. »

Un autre critère[modifier | modifier le code]

«  La série \sum a_n(x)b_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si les séries \sum a_n(x) et \sum|a_n(x)| convergent uniformément dans I, les fonctions b_n(x) étant de plus uniformément bornées dans I. »

dont un corollaire immédiat est

«  La série \sum a_n(x)b_n(x) converge uniformément dans l'intervalle I si la série \sum a_n(x) converge uniformément dans I, les fonctions a_n(x) étant positives et les fonctions b_n(x) étant uniformément bornées dans I. »

Espace des fonctions numériques continues sur [a,b][modifier | modifier le code]

On choisit dans cette section X = [a, b] un intervalle compact de ℝ et Y = ℝ. Puisque ℝ muni de la valeur absolue est complet, il en résulte que l'espace vectoriel normé \mathcal{C}([a,b],\R) muni de la norme \|\cdot\|_{\infty,[a,b]} est complet.

Théorème de Weierstrass[modifier | modifier le code]

Le théorème d'approximation de Weierstrass affirme qu'on peut approcher de manière uniforme n'importe quelle fonction numérique continue sur [a, b] par une suite de fonctions très régulières à savoir par des polynômes. Plus précisément, si f est une fonction continue sur [a, b] alors :

\forall \varepsilon>0, \exists P_{\varepsilon} \in \R[X],\|f-P_{\varepsilon}\|_{\infty,[a,b]}\le\varepsilon,

où ℝ[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. en particulier, la définition de la convergence uniforme fait sens même si l'espace de départ n'est pas muni d'une structure topologique. Cependant certaines propriétés phares de la convergence uniforme concernent des situations où l'espace de départ est nécessairement muni d'une topologie, par exemple la conservation de la continuité par passage à la limite.
  2. Les deux obstacles sont :
    • que cette fonction peut prendre des valeurs infinies (on y remédiera facilement en la remplaçant par exemple par \scriptstyle e_{\infty,A}=\min(1,d_{\infty,A})), et
    • qu'elle peut s'annuler sans que les deux fonctions soient égales sur X tout entier (\scriptstyle e_{\infty,A} est donc seulement un écart ; ce n'est une distance que si A = X).
  3. Voir par exemple (de) Konrad Knopp, Theorie und Andwendung der unendlichen Reihen, 1922 (ou sa traduction, (en) Knopp, Theory and Application of Infinite Series, 1954).

Voir aussi[modifier | modifier le code]