Fonction génératrice des moments

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Dans le domaine des probabilités et statistiques, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire $\ X$ est définie par

$M_X(t) = E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},$

lorsque son espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée afin de générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire $\ X$ .

Sommaire

1 Définition et calcul
2 Propriétés
- 2.1 Exemple
3 Relation univoque entre fonction génératrice des moments et fonction de densité
4 Voir aussi

[modifier] Définition et calcul

Si à $\ X$ est associée une densité de probabilité continue $f (x)$ , alors la fonction génératrice des moments est donnée par

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

En introduisant dans cette équation le développement limité de l'exponentielle, cette expression est équivalente à :

$M_X(t) = \int_{\mathbb{R}} \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,$

où $m i$ est le $i e m e$ moment de $\ X$ . Si la densité de probabilité n'est pas continue, la fonction génératrice des moments peut être obtenue par l'intégrale de Stieltjes :

$M_X(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{tx}\,dF(x)$

où $F$ est la fonction de répartition de $\ X$ .

Les expressions précédentes s'appliquent à des variables aléatoires. Dans le cas d'un vecteur aléatoire à composantes réelles, la fonction génératrice des moments est alors définie comme suit :

$M_X(t) = E(e^{\langle t, X\rangle})$

où $t$ est un vecteur et $\langle t,X \rangle$ est le produit scalaire.

[modifier] Propriétés

$M X ( - t)$ est la transformée bilatérale de Laplace de la densité de probabilité $f (x)$

Si $X_1, X_2, \dots, X_n$ est une séquence de variables aléatoires indépendantes (mais non nécessairement identiquement distribuées) et $S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$ où $a_i \in \mathbb{R}$ , alors la densité de probabilité. de $S n$ est la convolution pondérée par les $a i$ des densités de probabilité de chacun des $X i$ et la fonction de génération des moment de $S n$ est donnée par

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt)$

Si la fonction génératrice des moments existe dans un intervalle ouvert autour de $t = 0$ , le $n e m e$ moment de la variable aléatoire $X$ est donné par la $n ème$ dérivée de la fonction génératrice évaluée en t=0:

$E(X^n) = M_{X}^{(n)}(0) = \left.\frac{\mathrm{d}^n M_X(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0}$

Cette relation permet de calculer très aisément les moments d'une loi dont on connaît la fonction génératrice. Par exemple, $E (X) = M X'(0)$ et $V a r (X) = E (X 2) - E (X) 2 = M X''(0) - [M X'(0)] 2$ .

[modifier] Exemple

On veut calculer l'espérance de la loi exponentielle. Sa fonction génératrice des moments est données par: $M_{X}(t)=\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,=\frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)}$ .

En s'appuyant sur la propriété des dérivées que $\left({1\over f}\right)' = {-f'\over f^2}$ on obtient:

$M_{X}'(t) \equiv \frac{\mathrm{d} M_X(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}}{\mathrm{d}t}= \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{2}}$

En évaluant cette dérivée en t=0 on obtient le premier moment:

$E[X]=M_{X}'(t=0) = \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{0}{\lambda}\right)^{2}}=\frac{1}{\lambda}$

[modifier] Relation univoque entre fonction génératrice des moments et fonction de densité

Passer de la densité à la fonction génératrice est chose aisée: il suffit d'appliquer la définition. La relation inverse semble plus ardue.

La manière la plus facile de traiter cette question est de passer par la Transformation de Fourier. Il suffit pour cela de considérer la fonction des moments en $t = i τ$ , où i est le nombre complexe bien connu ( $i 2 = - 1$ ). On obtient ce que l'on appelle la fonction caractéristique de la variable X:

$\phi_X(\tau) = M_x(i\tau) = \int e^{i\tau x} f(x) \, \mathrm{d}x$