Fonction génératrice des moments

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En théorie des probabilités et en statistique, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X est définie par

M_X(t) = \mathbb E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

lorsque son espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée afin d'engendrer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Définition et calcul[modifier | modifier le code]

Si à X est associée une densité de probabilité continue f, alors la fonction génératrice des moments est donnée par

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x.

En introduisant dans cette équation le développement en série entière de l'exponentielle, cette expression est équivalente à :

M_X(t)  = \int_{\mathbb{R}} \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,

mi est le i^{\grave eme} moment de X.

Si la densité de probabilité n'est pas continue, la fonction génératrice des moments peut être obtenue par l'intégrale de Stieltjes :

M_X(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{tx}\,dF(x)

F est la fonction de répartition de X.

Les expressions précédentes s'appliquent à des variables aléatoires. Dans le cas d'un vecteur aléatoire à composantes réelles, la fonction génératrice des moments est alors définie comme suit :

M_X(t) = \mathbb E(e^{\langle t, X\rangle})

t est un vecteur et \langle t,X \rangle est le produit scalaire.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si X_1, X_2, \dots, X_n est une suite de variables aléatoires indépendantes (mais non nécessairement identiquement distribuées) et S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,a_i \in \mathbb{R}, alors la densité de probabilité de Sn est la convolution pondérée par les ai des densités de probabilité de chacun des Xi et la fonction de génération des moments de Sn est donnée par
M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).
  • Si la fonction génératrice des moments existe dans un intervalle ouvert autour de t=0, le n^{eme} moment de la variable aléatoire X est donné par la n^{\text{ème}} dérivée de la fonction génératrice évaluée en t=0 :
\mathbb E(X^n) = M_{X}^{(n)}(0) = \left.\frac{\mathrm{d}^n M_X(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0}.

Cette relation permet de calculer très aisément les moments d'une loi dont on connaît la fonction génératrice. Par exemple, \mathbb E(X) = M_X'(0) et \operatorname{Var}(X) = \mathbb E(X^2) - \mathbb E(X)^2 = M_X''(0) - [M_X'(0)]^2.

  • Toute fonction génératrice des moments est log-convexe.

En effet, l'inégalité de Hölder indique que

\mathbb E [UV] \leq (\mathbb E|U|^p)^{1/p} (\mathbb E|V|^q)^{1/q}

pour toutes variables aléatoires U et V et nombres réels p,q tels que

 1 < p,q < \infty \quad \text{ et } \quad  \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1.

Soit X une variable aléatoire réelle et 0<\theta<1. En prenant le logarithme de l'inégalité appliquée à

U = \exp((1-\theta)\lambda_0 X), V = \exp(\theta\lambda_1 X), \quad p=\frac1{1-\theta}, q=\frac1\theta

on obtient l'inégalité de convexité

\ln \mathbb E [ \exp(((1-\theta)\lambda_0+\theta\lambda_1)X) ]\le (1-\theta) \ln \mathbb  E [\exp(\lambda_0 X)] + \theta \ln \mathbb E [\exp(\lambda_1 X)].

Exemple[modifier | modifier le code]

On veut calculer l'espérance de la loi exponentielle. Sa fonction génératrice des moments est donnée par :

M_{X}(t)=\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,=\frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)}.

En s'appuyant sur la propriété des dérivées selon laquelle \left({1\over f}\right)' = {-f'\over f^2} on obtient :

M_{X}'(t) \equiv \frac{\mathrm{d} M_X(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}}{\mathrm{d}t}= \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{2}}.

En évaluant cette dérivée en t=0 on obtient le premier moment :

\mathbb E[X]=M_{X}'(t=0) = \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{0}{\lambda}\right)^{2}}=\frac{1}{\lambda}.

Relation univoque entre fonction génératrice des moments et fonction de densité[modifier | modifier le code]

Passer de la densité à la fonction génératrice est chose aisée : il suffit d'appliquer la définition. La relation inverse semble plus ardue.

La manière la plus facile de traiter cette question est de passer par la transformation de Fourier. Il suffit pour cela de considérer la fonction des moments en t = i \tau, où i est le nombre complexe tel que (i 2=-1). On obtient ce que l'on appelle la fonction caractéristique de la variable X :

\phi_X(\tau) = M_x(i\tau) = \int e^{i\tau x} f(x) \,\mathrm{d}x.

En tant que transformée de Fourier, l'expression précédente peut être inversée :

f(x)=\frac{1}{2\pi} \int e^{-i \tau x} \phi_X(\tau) \,\mathrm{d}\tau.

La fonction génératrice des moments caractérise donc parfaitement la densité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Sheldon Ross, Initiation aux probabilités, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes,‎ 2004 (ISBN 2-88074-327-3), p. 333-344