Fonction génératrice des moments

En théorie des probabilités et en statistique, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire X est définie par

$M_X(t) = \mathbb E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},$

lorsque son espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée afin d'engendrer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Définition et calcul

Si à $X$ est associée une densité de probabilité continue f, alors la fonction génératrice des moments est donnée par

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$.

En introduisant dans cette équation le développement en série entière de l'exponentielle, cette expression est équivalente à :

$M_X(t) = \int_{\mathbb{R}} \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,$

où m_i est le $i^{\grave eme}$ moment de X.

Si la densité de probabilité n'est pas continue, la fonction génératrice des moments peut être obtenue par l'intégrale de Stieltjes :

$M_X(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{tx}\,dF(x)$

où $F$ est la fonction de répartition de X.

Les expressions précédentes s'appliquent à des variables aléatoires. Dans le cas d'un vecteur aléatoire à composantes réelles, la fonction génératrice des moments est alors définie comme suit :

$M_X(t) = \mathbb E(e^{\langle t, X\rangle})$

où t est un vecteur et $\langle t,X \rangle$ est le produit scalaire.

Propriétés

• $M_X(-t)$ est la transformée bilatérale de Laplace de la densité de probabilité $f$.

• Si $X_1, X_2, \dots, X_n$ est une suite de variables aléatoires indépendantes (mais non nécessairement identiquement distribuées) et $S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$ où $a_i \in \mathbb{R}$, alors la densité de probabilité de S_n est la convolution pondérée par les a_i des densités de probabilité de chacun des X_i et la fonction de génération des moments de S_n est donnée par

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt)$.

• Si la fonction génératrice des moments existe dans un intervalle ouvert autour de t=0, le $n^{eme}$ moment de la variable aléatoire X est donné par la $n^{\text{ème}}$ dérivée de la fonction génératrice évaluée en t=0 :

$\mathbb E(X^n) = M_{X}^{(n)}(0) = \left.\frac{\mathrm{d}^n M_X(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0}$.

Cette relation permet de calculer très aisément les moments d'une loi dont on connaît la fonction génératrice. Par exemple, $\mathbb E(X) = M_X'(0)$ et $\operatorname{Var}(X) = \mathbb E(X^2) - \mathbb E(X)^2 = M_X''(0) - [M_X'(0)]^2$.

Exemple

On veut calculer l'espérance de la loi exponentielle. Sa fonction génératrice des moments est données par :

$M_{X}(t)=\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,=\frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)}$.

En s'appuyant sur la propriété des dérivées selon laquelle $\left({1\over f}\right)' = {-f'\over f^2}$ on obtient :

$M_{X}'(t) \equiv \frac{\mathrm{d} M_X(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}}{\mathrm{d}t}= \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{2}}$.

En évaluant cette dérivée en t=0 on obtient le premier moment :

$\mathbb E[X]=M_{X}'(t=0) = \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{0}{\lambda}\right)^{2}}=\frac{1}{\lambda}$.

Relation univoque entre fonction génératrice des moments et fonction de densité

Passer de la densité à la fonction génératrice est chose aisée : il suffit d'appliquer la définition. La relation inverse semble plus ardue.

La manière la plus facile de traiter cette question est de passer par la transformation de Fourier. Il suffit pour cela de considérer la fonction des moments en $t = i \tau$, où i est le nombre complexe tel que (i²=-1). On obtient ce que l'on appelle la fonction caractéristique de la variable $X$ :

$\phi_X(\tau) = M_x(i\tau) = \int e^{i\tau x} f(x) \,\mathrm{d}x$.

En tant que transformée de Fourier, l'expression précédente peut être inversée :

$f(x)=\frac{1}{2\pi} \int e^{-i \tau x} \phi_X(\tau) \,\mathrm{d}\tau$.

La fonction génératrice des moments caractérise donc parfaitement la densité.

Voir aussi

• Moment (mathématiques)
• Fonction génératrice
• Fonction génératrice des cumulants

Bibliographie

• Sheldon Ross, Initiation aux probabilités, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, 2004 (ISBN 2-88074-327-3), p. 333-344