Loi logarithmique

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Logarithmique
Paramètres 0 < p < 1\!
Support k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k}\!
Fonction de répartition 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!
Espérance \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!
Mode 1
Variance -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} \!
Fonction génératrice des moments \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!
Fonction caractéristique \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!

En Probabilité et en statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant:

 -\ln(1-p) = p + \frac{p^2}{2} + \frac{p^3}{3} + \cdots.

pour 0< p< 1. On peut en déduire l'identité qui suit:

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k} = 1.

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log(p):

 f(k;p) = P(X=k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p^k}{k}

pour k \ge 1, et où 0<p<1.

La fonction de répartition associée est

 F(k) = 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}

\Beta est la fonction bêta incomplète.

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative: si N est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que X_i, i = 1, 2, 3, ... est une série infinie de variables identiquement et indépendamment distribuées selon une loi Log(p), alors

\sum_{n=1}^N X_i

est distribuée selon une loi binomiale négative.

Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.

Références[modifier | modifier le code]

  • Norman L. Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions, Wiley-Interscience, ISBN 0471272469, chapitre 7 (p. 285-304)