Loi hypo-exponentielle

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Loi hypo-exponentielle
Image illustrative de l'article Loi hypo-exponentielle
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres n=1,2,...
\lambda_i>0
Support x \in [0; \infty [\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \sum_{i=1}^n \prod_{j\neq i}\frac{\lambda_j}{\lambda_j-\lambda_i}\lambda_i e^{-\lambda_i x}
Fonction de répartition 1-\sum_{i=1}^n \prod_{j\neq i}\frac{\lambda_j}{\lambda_j-\lambda_i}e^{-\lambda_i x}
Espérance \sum^{k}_{i=1}1/\lambda_{i}\,
Médiane \ln(2)\sum^{k}_{i=1}1/\lambda_{i}\,
Mode 0
Variance \sum^{k}_{i=1}1/\lambda^2_{i}
Asymétrie \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{\lambda_{i}^2}

En théorie des probabilités en en statistique, la loi hypo-exponentielle ou loi d'Erlang généralisée[1] est une loi de probabilité continue, à support semi-inifni qui trouve des applications dans les mêmes domaines que la loi d'Erlang : théorie des files d'attente, ingénierie de trafic, ... Le terme hypo vient du fait que le coefficient de variation de la loi est inférieur à un, comparativement à la loi hyper-exponentielle dont le coefficient de variation est supérieur à un et à la loi exponentielle dont le coefficient vaut un.

Une variable aléatoire qui suit une loi hypo-exponentielle sera notée : Y\sim \mathrm{Hypo}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).

Définition[modifier | modifier le code]

La loi hypo-exponentielle définie comme la loi de la somme de n variables aléatoires \scriptstyle X_i,\, i=1,\dots,n de loi exponentielle indépendantes de paramètres respectifs : \scriptstyle \lambda_i,\, i=1,\dots,n :

 Y=\sum_{i=1}^n X_i avec X_i \sim \mathcal E(\lambda_i).

Le coefficient de variation minimum de la loi hypo-exponentielle est 1/n.

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi hypo-exponentielle se calcule par récurrence[2] pour obtenir la formule :

f_X(x)=\begin{cases} \displaystyle\sum_{i=1}^n \prod_{j\neq i}\frac{\lambda_j}{\lambda_j-\lambda_i}\lambda_i e^{-\lambda_i x} & \text{ si } x>0 \\ 0 &\text{ sinon }\end{cases}

dans le cas où les paramètres \scriptstyle \lambda_i sont tous différents deux à deux.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi hypo-exponentielle est donnée par[2] :

F_X(x)=\begin{cases}  \displaystyle 1-\sum_{i=1}^n \prod_{j\neq i}\frac{\lambda_j}{\lambda_j-\lambda_i} e^{-\lambda_i x} & \text{ si } x>0 \\ 0 &\text{ sinon }\end{cases}

avec le même critère pour le paramètres \scriptstyle \lambda_i \; : \; \lambda_i \neq \lambda_j, \text{ si } i\neq j.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Melania Calinescu, Forecasting and Capacity Planning for Ambulances Services, Amsterdam, rapport interne,‎ 2009, 19 p. (lire en ligne), p. 10
  2. a et b (en) Sheldon Ross, Introduction to Probability models, Elsevier,‎ 2010, 10e éd., 784 p. (ISBN 978-0-12-375686-2, lire en ligne), p. 308