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Loi inverse-χ2
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres
ν
>
0
{\displaystyle \nu >0\!}
Support
x
∈
]
0
,
∞
[
{\displaystyle x\in ]0,\infty [\!}
Densité de probabilité
2
−
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
x
−
ν
/
2
−
1
e
−
1
/
(
2
x
)
{\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}\!}
Fonction de répartition
Γ
(
ν
2
,
1
2
x
)
/
Γ
(
ν
2
)
{\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2x}}\right){\bigg /}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\!}
Espérance
1
ν
−
2
{\displaystyle {\frac {1}{\nu -2}}\!}
ν
>
2
{\displaystyle \nu >2\!}
Mode
1
ν
+
2
{\displaystyle {\frac {1}{\nu +2}}\!}
Variance
2
(
ν
−
2
)
2
(
ν
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}\!}
ν
>
4
{\displaystyle \nu >4\!}
Asymétrie
4
ν
−
6
2
(
ν
−
4
)
{\displaystyle {\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}\!}
ν
>
6
{\displaystyle \nu >6\!}
Kurtosis normalisé
12
(
5
ν
−
22
)
(
ν
−
6
)
(
ν
−
8
)
{\displaystyle {\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}\!}
ν
>
8
{\displaystyle \nu >8\!}
Entropie
ν
2
+
ln
(
1
2
Γ
(
ν
2
)
)
−
(
1
+
ν
2
)
ψ
(
ν
2
)
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\nu }{2}}+\ln \left({\frac {1}{2}}\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)-\left(1+{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)}
Fonction génératrice des moments
2
Γ
(
ν
2
)
(
−
t
2
i
)
ν
4
K
ν
2
(
−
2
t
)
{\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-t}{2i}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2t}}\right)}
Fonction caractéristique
2
Γ
(
ν
2
)
(
−
i
t
2
)
ν
4
K
ν
2
(
−
2
i
t
)
{\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-it}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2it}}\right)}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi inverse-
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
(ou loi du
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
) est la loi de probabilité [ 1] variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ² . Une variante par changement d'échelle existe également.
Cette loi est utilisée en inférence statistique . Si X suit une loi inverse-χ2 , on notera :
X
∼
Inv-
χ
2
(
ν
)
{\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )}
Si X suit une loi du χ² à
ν
{\displaystyle \nu }
1
/
X
{\displaystyle 1/X}
2 à
ν
{\displaystyle \nu }
Sa densité de probabilité est donnée par :
f
(
x
;
ν
)
=
{
2
−
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
x
−
ν
/
2
−
1
e
−
1
/
(
2
x
)
si
x
>
0
0
sinon
{\displaystyle f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}
où
Γ
{\displaystyle \Gamma }
fonction gamma et
ν
{\displaystyle \nu }
Une variante de la loi inverse-χ2 existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de
ν
/
X
{\displaystyle \nu /X}
X suit une loi du χ² à
ν
{\displaystyle \nu }
f
(
x
;
ν
)
=
{
(
ν
/
2
)
ν
/
2
Γ
(
ν
/
2
)
x
−
ν
/
2
−
1
e
−
ν
/
(
2
x
)
si
x
>
0
0
sinon.
{\displaystyle f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}x^{-\nu /2-1}e^{-\nu /(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}
Le degré de liberté est encore
ν
{\displaystyle \nu }
loi du χ² : Si
X
∼
χ
2
(
ν
)
{\displaystyle X\thicksim \chi ^{2}(\nu )}
1
X
∼
Inv-
χ
2
(
ν
)
{\displaystyle {\frac {1}{X}}\thicksim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )}
la loi inverse-χ2 est la loi inverse-gamma avec
α
=
ν
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}
β
=
1
2
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}
↑ Bernardo, J.M.; Smith, A.F.M. (1993) Bayesian Theory ,Wiley (pages 119, 431) (ISBN 0-471-49464-X
![{\displaystyle x\in ]0,\infty [\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95afc8349b839c1910a28fcc5f8f71687603c2f)
