Loi inverse-χ²

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Loi inverse-χ2
Image illustrative de l'article Loi inverse-χ²
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \nu > 0\!
Support x \in ]0, \infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}\,x^{-\nu/2-1}  e^{-1/(2 x)}\!
Fonction de répartition \Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2x}\right) \bigg/\, \Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)\!
Espérance \frac{1}{\nu-2}\! pour \nu >2\!
Mode \frac{1}{\nu+2}\!
Variance \frac{2}{(\nu-2)^2 (\nu-4)}\! pour \nu >4\!
Asymétrie \frac{4}{\nu-6}\sqrt{2(\nu-4)}\! pour \nu >6\!
Kurtosis normalisé \frac{12(5\nu-22)}{(\nu-6)(\nu-8)}\! pour \nu >8\!
Entropie \scriptstyle \frac{\nu}{2} + \ln\left(\frac{1}{2}\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)\right) - \left(1 +\frac{\nu}{2}\right)\psi\left(\frac{\nu}{2}\right)
Fonction génératrice des moments \frac{2}{\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(\frac{-t}{2i}\right)^{\!\!\frac{\nu}{4}}K_{\frac{\nu}{2}}\!\left(\sqrt{-2t} \right)
Fonction caractéristique \frac{2}{\Gamma(\frac{\nu}{2})}\left(\frac{-it}{2}\right)^{\!\!\frac{\nu}{4}}K_{\frac{\nu}{2}}\!\left(\sqrt{-2it}\right)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-\chi^2 (ou loi du \chi^2 inverse) est la loi de probabilité[1] de la variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ². Une variante par changement d'échelle existe également.

Cette loi est utilisée en inférence statistique. Si X suit une loi inverse-χ2, on notera : X\sim \mbox{Inv-}\chi^2(\nu).

Définition[modifier | modifier le code]

Si X suit une loi du χ² à \nu degrés de liberté, alors 1/X est de loi inverse-χ2 à \nu degrés de liberté.

Sa densité de probabilité est donnée par :

 f(x; \nu) = \begin{cases}\displaystyle \frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}\,x^{-\nu/2-1}  e^{-1/(2 x)} & \text{ si } x>0 \\ 0 &  \text{ sinon}\end{cases}

\Gamma est la fonction gamma et \nu est appelé le nombre de degrés de liberté.

Variante[modifier | modifier le code]

Une variante de la loi inverse-χ2 existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de \nu/X lorsque X suit une loi du χ² à \nu degrés de liberté. La densité de probabilité est alors donnée par :

 f(x; \nu)=  \begin{cases}\displaystyle  \frac{(\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}  x^{-\nu/2-1}  e^{-\nu/(2 x)} & \text{ si } x>0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

Le degré de liberté est encore \nu.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Bernardo, J.M.; Smith, A.F.M. (1993) Bayesian Theory,Wiley (pages 119, 431) ISBN 0-471-49464-X

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]