Loi du χ

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Loi du \chi
Image illustrative de l'article Loi du χ
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi du χ
Fonction de répartition

Paramètres k\in \{1,2,\dots\}\, (degrés de liberté)
Support x\in [0;\infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{2^{1-k/2}x^{k-1}e^{-x^2/2}}{\Gamma(k/2)}
Fonction de répartition P(k/2,x^2/2)\,
Espérance \mu=\sqrt{2}\,\frac{\Gamma((k+1)/2)}{\Gamma(k/2)}
Mode \sqrt{k-1}\, pour k\ge 1
Variance \sigma^2=k-\mu^2\,
Asymétrie \gamma_1=\frac{\mu}{\sigma^3}\,(1-2\sigma^2)
Kurtosis normalisé \frac{2}{\sigma^2}(1-\mu\sigma\gamma_1-\sigma^2)
Entropie \ln(\Gamma(k/2))+\,
\,\frac{1}{2}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi_0(k/2))
Fonction génératrice des moments (voir détails dans l'article)
Fonction caractéristique (voir détails dans l'article)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du \chi (prononcer « khi ») est une loi de probabilité continue. C'est la loi de la moyenne quadratique de k variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, le paramètre k est le nombre de degrés de liberté. L'exemple le plus courant est la loi de Maxwell, pour k=3 degrés de liberté d'une loi du \chi ; elle modélise la vitesse moléculaire (normalisée).

Si X_i sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale avec pour moyenne \mu_i et écart-type \sigma_i, alors la variable

Y = \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}

est de loi du \chi.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi du \chi est :

f(x;k) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2^{1-\frac{k}{2}}x^{k-1}e^{-\frac{x^2}{2}}}{\Gamma(\frac{k}{2})} & \text{ pour }x>0\\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}

\Gamma(z) est la fonction gamma.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi du \chi est :

F(x;k)= \begin{cases} \displaystyle P\left(\frac{k}{2},\frac{x^2}{2}\right) & \text{ pour }x>0\\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}

P(k,x) est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

Fonction génératrice des moments[modifier | modifier le code]

La fonction génératrice des moments est donnée par :

M(t)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{t^2}{2}\right)+t\sqrt{2}\,\frac{\Gamma(\tfrac{k+1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})} M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{t^2}{2}\right).

M est la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction caractéristique est donnée par :

\varphi(t;k)=M\left(\frac{k}{2},\frac{1}{2},\frac{-t^2}{2}\right)+ it\sqrt{2}\,\frac{\Gamma(\tfrac{k+1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})} M\left(\frac{k+1}{2},\frac{3}{2},\frac{-t^2}{2}\right).

M est encore la fonction hypergéométrique confluente de Kummer.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Les moments de la loi du \chi sont donnés par :

\mu_j=2^{j/2}\frac{\Gamma(\tfrac{k+j}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}

\Gamma(z) est la fonction gamma. Les premiers moments sont :

\mu_1=\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma(\tfrac{k+1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}
\mu_2=k\,
\mu_3=2\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma(\tfrac{k+3}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}=(k+1)\mu_1
\mu_4=k(k+2)\,
\mu_5=4\sqrt{2}\,\,\frac{\Gamma(\tfrac{k+5}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}=(k+1)(k+3)\mu_1
\mu_6=k(k+2)(k+4)\,

où les expressions sont issues de la relation de récurrence de la fonction gamma :

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\,

à partir de ces expressions, on peut établir les relations suivantes pour l'espérance, la variance, l'asymétrie et enfin le kurtosis :

\mu=\sqrt{2}\,\frac{\Gamma(\tfrac{k+1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}
\sigma^2=k-\mu^2\,
\gamma_1=\frac{\mu}{\sigma^3}\,(1-2\sigma^2)
\gamma_2=\frac{2}{\sigma^2}(1-\mu\sigma\gamma_1-\sigma^2)

Entropie[modifier | modifier le code]

L'entropie est donnée par :

S=\ln\left(\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)\right)+\frac{1}{2}\left(k-\ln(2)-(k-1)\psi_0\left(\frac{k}{2}\right)\right)

\psi_0(z) est la fonction polygamma.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Différentes lois du \chi et \chi^2
Lois en fonction de variables de loi normale
loi du χ² \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2
loi du χ² non centrée \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2
loi du χ \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}
loi du χ non centrée \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}

Liens externes[modifier | modifier le code]