Espérance mathématique

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L'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Elle se note E(X) et se lit espérance de X. C'est une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire. Elle permet par exemple de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard; elle est alors égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte). Lorsque l'espérance est égale à 0, le jeu est dit équitable.

Définition

Soit $\scriptstyle X$ une variable aléatoire de l'espace probabilisé $\scriptstyle(\Omega, \, \mathcal E, \, \mathbb{P})\,$ vers l'espace mesurable $\scriptstyle(F, \, \mathcal F)$.

Si $\scriptstyle(F, \, \mathcal F)$ est $\scriptstyle(\mathbb R, \, \mathcal B(\mathbb R)),$ i.e. dans le cas où X est une variable aléatoire réelle, l'espérance de X, si elle existe, est définie par :

$\mathbb E(X) = \int_\Omega X(\omega) \mathbb{P}(\mathrm d\omega) = \int_{\mathbb R} x \mathbb{P}_X(\mathrm dx).$

• Si $\scriptstyle X$ est une variable aléatoire absolument continue, de densité de probabilité $\scriptstyle f_X$ par rapport à une mesure $\sigma$-finie $\mu$ sur $\scriptstyle(F, \, \mathcal F)$, alors :

$\mathbb E(X) = \int_{\mathbb R} x f_X(x) \mu(\mathrm dx).$

• Si $\scriptstyle X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $\scriptstyle S \subset F$, alors :

$\mathbb E(X) = \sum_{x \in S} x \mathbb{P}_X(\{x\}).$

C'est notamment le cas quand $\scriptstyle S$ est fini. En notant ses valeurs $\scriptstyle x_1, \, \dots, \, x_n$ et $\scriptstyle p_1, \, \dots, \, p_n$ les probabilités correspondantes, l'espérance devient :

$\mathbb E(X) = \sum_{i = 1}^n x_i p_i.$

Exemple

Exemple de calcul pour la roulette française : en jouant un numéro plein, le joueur a 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de repartir avec 35 fois sa mise initiale. Son espérance de gain est donc :

$\frac1{37}\times(mise\times 35)+\frac{36}{37}\times(-mise)\simeq-0,027\times mise.$

Ce résultat indique qu'en moyenne, il perd 2.7 % de sa mise à chaque partie au profit du casino.

Généralisation : espérance d'une fonction d'une variable aléatoire

$\scriptstyle X$ étant une variable aléatoire non nécessairement réelle, donc à valeur dans un espace mesurable $\scriptstyle(F, \, \mathcal F)$ général, une fonction $\scriptstyle \varphi$ mesurable de $\scriptstyle(F, \, \mathcal F)$ dans $\scriptstyle(\mathbb R, \, \mathcal B(\mathbb R))$ définit une nouvelle variable aléatoire réelle $\scriptstyle \varphi \circ X$ notée $\scriptstyle \varphi(X)$ dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant $\scriptstyle x$ par $\scriptstyle \varphi(x)$ dans les formules précédentes (théorème de transfert).

Son espérance est définie par :

$\mathbb E \big( \varphi(X) \big) = \int_\Omega \varphi \big( X(\omega) \big) \mathbb{P}(\mathrm d \omega) = \int_F \varphi(x) \mathbb{P}_X(\mathrm dx).$

• Si $\scriptstyle X$ est une variable aléatoire absolument continue, de densité de probabilité $\scriptstyle f_X$ par rapport à une mesure $\sigma$-finie $\mu$ sur $\scriptstyle(F, \, \mathcal F)$, alors :

$\mathbb E \big( \varphi(X) \big) = \int_F \varphi(x) f_X(x) \mu(\mathrm dx).$

• Si $\scriptstyle X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable $\scriptstyle S \subset F$, alors :

$\mathbb E \big( \varphi(X) \big) = \sum_{x \in S} \varphi(x) \mathbb{P}_X(\{x\}).$

C'est notamment le cas quand $\scriptstyle S$ est fini. En notant ses valeurs $\scriptstyle x_1, \, \dots, \, x_n$ et $\scriptstyle p_1, \, \dots, \, p_n$ les probabilités correspondantes, l'espérance devient :

$\mathbb E \big( \varphi(X) \big) = \sum_{i = 1}^n \varphi(x_i) p_i.$

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes $\scriptstyle \varphi(X) = e^{i \theta X}$ (où $\theta$ est un réel) dont l'espérance mathématique est la transformée de Fourier inverse de $\scriptstyle f_X$ (dans le cas où $\scriptstyle F = \R$) :

$\phi_X(\theta) = \mathbb E \left( e^{i \theta X} \right).$

Il s'agit de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. L'exponentielle se développe en série de Taylor :

$\phi_X(\theta) = \mathbb E \left(\sum_{k = 0}^\infty \frac{(i \theta X)^k}{k!} \right) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(i \theta)^k}{k!} \mathbb E \left( X^k \right).$

Propriétés

Propriétés élémentaires

• L'espérance d'une variable aléatoire constante est égale à cette constante ; par exemple, si $b$ est une constante, alors $\scriptstyle\mathbb E(b)=b$.
• Monotonie : si $\scriptstyle X$ et $\scriptstyle Y$ sont des variables aléatoires tels que $\scriptstyle X \le Y$ presque sûrement, alors $\scriptstyle\mathbb E(X)\le\mathbb E(Y)$.
• Linéarité : l'espérance est un opérateur linéaire. Pour deux variables aléatoires quelconques $\scriptstyle X$ et $\scriptstyle Y$ (qui doivent être définies sur le même espace probabiliste) et pour deux nombres réels $\scriptstyle a$ et $\scriptstyle b$ :

$\mathbb E(aX+bY)=a\mathbb E(X)+b\mathbb E(Y)$

• Produit : en général, l'opérateur espérance ne respecte pas le produit, c'est-à-dire qu'en général $\scriptstyle\mathbb E(X Y)\ne\mathbb E(X)\mathbb E(Y)$. L'égalité est vraie pour des variables $X$ et $Y$ indépendantes. L'absence de la multiplicativité amène à étudier les covariances et corrélation.

Cas d'une variable aléatoire positive

Si X est une variable aléatoire positive ou nulle, alors

$\mathbb E(X)=\int_0^{+\infty}\mathbb P(X\ge x)dx=\int_0^{+\infty}\mathbb P(X> x)dx.$

Plus généralement, si $\scriptstyle \varphi$ est positive, continument dérivable, croissante sur $\scriptstyle \mathbb R_+,$ et si $\scriptstyle \varphi(0)=0,$ on a

$\mathbb E[\varphi(X)]=\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}(x)\mathbb P(X\ge x)dx=\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}(x)\mathbb P(X> x)dx.$

Un cas particulier important est celui des moments de X : pour $\scriptstyle \alpha>0,$

$\mathbb E[X^{\alpha}]=\int_0^{+\infty}\alpha x^{\alpha-1}\mathbb P(X\ge x)dx,$

la première égalité étant l'instance $\scriptstyle \alpha=1$ de l'égalité précédente. Dans le cas d'une variable aléatoire à valeurs entières, ces formules se réécrivent, après un petit calcul intermédiaire, respectivement :

$\mathbb E[X]=\sum_{k\ge 1}\mathbb P(X\ge k),\quad\textrm{et}\quad\mathbb E[X^{\alpha}]=\sum_{k\ge 1}(k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha})\mathbb P(X\ge k).$

Démonstration

$\begin{align} \mathbb E\left[\varphi(X)\right]&=\int_0^{+\infty}\varphi(x)\,\mathbb P_X(dx) \\ &=\int_0^{+\infty}\ \int_0^{x}\varphi^{\prime}(u)du\ \mathbb P_X(dx) \\ &=\int_0^{+\infty}\ \left(\int_0^{+\infty}\varphi^{\prime}(u)\,1_{u<x}\,du\right)\ \mathbb P_X(dx) \\ &=\int_0^{+\infty}\ \left(\int_0^{+\infty}\,1_{u<x}\,\mathbb P_X(dx)\right)\ \varphi^{\prime}(u)du \\ &=\int_0^{+\infty}\ \mathbb P(X> u)\ \varphi^{\prime}(u)du, \end{align}$

où l'avant-dernière égalité découle du Théorème de Fubini. Dans l'expression intégrale de $\scriptstyle \varphi$ en fonction de $\scriptstyle \varphi^{\prime},$ voir 3ème égalité,</math> il est indifférent d'utiliser $\scriptstyle u<x$ ou $\scriptstyle u\le x$. Cette formule est un des avatars de la formule d'intégration par parties, comme on le voit dans le cas particulier où la fonction de répartition de X est continument dérivable.

Loi de l'espérance itérée

• Pour une variable aléatoire discrète : Pour deux variables aléatoires $X,Y$, on peut définir l'espérance conditionnelle

Définition — $\mathbb E(X|Y)(y)\equiv\mathbb E(X|Y=y)\equiv \sum\limits_xx\cdot\mathbb{P}(X=x|Y=y).$

qui signifie que $\mathbb E(X|Y)(y)$ est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie

Propriété — $\mathbb E\left(\mathbb E(X|Y)\right)=\mathbb E(X)$

Démonstration

$\begin{align} \mathbb E\left(\mathbb E(X|Y)\right) &= \sum\limits_y\mathbb E(X|Y=y)\cdot\mathbb P(Y=y)\\ &=\sum\limits_y\left(\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x|Y=y)\right)\cdot\mathbb P(Y=y)\\ &=\sum\limits_y\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x|Y=y)\cdot\mathbb P(Y=y)\\ &=\sum\limits_y\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(Y=y|X=x)\cdot\mathbb P(X=x)\\ &=\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x)\cdot\left(\sum\limits_y\mathbb P(Y=y|X=x)\right)\\ &=\sum\limits_xx\cdot\mathbb P(X=x)\\ &=\mathbb E(X) \end{align}$

• Pour une variable continue : dans le cas continu, les résultats sont analogues. Dans ce cas-ci, on utilise la densité de probabilité et les intégrales à la place de la distribution et des sommes. En tout cas, le résultat reste valable:

$\mathbb E(X)=\mathbb E\left(\mathbb E(X|Y)\right).$

Espérance d'une fonctionnelle

En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général:

$\mathbb E(g(X))=\int_\Omega g(X)\, \mathrm d\mathbb{P}\ne g(\mathbb E(X)).$

Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves).

Estimation

On utilise souvent comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur:

• Sans biais
• Convergent selon la loi des grands nombres et même fortement convergent selon la loi forte des grands nombres
• Distribué normalement asymptotiquement selon le théorème central limite

Caractère central

On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs.

En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à a, alors E(X) = a.

Mais ce point de vue n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E(X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. Les valeurs de X ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance.

Interprétation et applications

Espérance mathématique et choix rationnel

Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36 ; on obtient donc :

$\frac{1\,000\,000}{36} - \frac{10\,000 \times 35}{36} = 18\,055$

à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros.

Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié.

Incidence de la prime de risque

Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son « paradoxe de Saint Petersbourg », le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix.

Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux)

• La notion de prime de risque appliquée à l'espérance mathématique fut en économie à l'origine du concept d'utilité (et d'utilité dite « marginale »).
• les primes d'assurance sont d'un coût supérieur à l'espérance mathématique de perte du souscripteur du contrat. Mais c'est ce risque de forte perte en cas d'évènement rare qui l'incite à le souscrire.
• L'espérance mathématique, comme d'autres concepts probabilistes, est utilisée dans les calculs d'évaluation en finance, par exemple pour l'évaluation d'entreprise.
• La finance comportementale aborde, entre autres, les aspects émotionnels et cognitifs, qui vont au-delà de la simple prime de risque, et qui peuvent interférer avec le concept rationnel d'espérance mathématique à l'heure du choix.
• De même que l'on paye une prime pour éviter le risque avec les assurances, on paie au contraire un accès au risque dans les jeux de hasard (qui rapportent toujours moins que leur espérance mathématique, puisqu'ils doivent s'autofinancer).

Notion d'utilité probabiliste

Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies.

Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain – si gain il y a – sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.

Voir aussi

Articles connexes

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Moment
• Formule de Wald

Lien externe

Probabilités adaptées à la finance : article sur l'espérance et exemple simple, sur le site gestion-des-risques-conseil.fr