Loi de Lévy

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Distribution de Lévy
Image illustrative de l'article Loi de Lévy
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
pour différentes valeurs de c.

Image illustrative de l'article Loi de Lévy
Fonction de répartition
pour différentes valeurs de c.

Paramètres \mu\in \mathbb R
c > 0\,
Support x \in ]\mu, +\infty[\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \cdot \frac{1}{(x-\mu)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}
Fonction de répartition \mathrm{erfc}~\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\!
Espérance +\infty\,
Médiane c/2(\textrm{erf}^{-1}(1/2))^2\, pour \mu=0
Mode \frac{c}{3}\, pour \mu=0
Variance +\infty\,
Asymétrie non définie
Kurtosis normalisé non défini
Entropie \frac{1+3\gamma+\ln(16\pi c^2)}{2}\,
Fonction génératrice des moments non définie
Fonction caractéristique e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}\,

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Lévy, nommée d'après le mathématicien Paul Lévy, est une loi de probabilité continue. En physique, plus précisément en spectroscopie, elle porte le nom de profil de Van der Waals et décrit le profil de certaines raies spectrales.

Cette loi dépend de deux paramètres : un paramètre de position \mu\in \mathbb R qui décale le support [\mu,\infty[, et un paramètre d'échelle c.

Si X suit une loi de Lévy, on notera : X\sim\mathrm{Levy}(\mu,c).

Avec la loi de Cauchy et la loi normale, c'est l'une des trois à être stable par convolution et à posséder une densité de probabilité exprimable analytiquement.

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi de Lévy est donnée par :

f(x;\mu,c)=\begin{cases}\displaystyle \sqrt{\frac{c}{2\pi}} \frac{1}{(x-\mu)^{3/2}}   e^{ -\frac{c}{2(x-\mu)}}  &\text{ si } x>\mu\\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}

\mu\in \mathbb R est le paramètre de position et c>0 est le paramètre d'échelle. Comme toutes les lois stables, il existe une forme standard de la loi, définie par la densité f(x;0,1) que l'on obtient à partir du changement de variable : y = \frac{x-\mu}{c} dans l'expression de f(x;\mu,\sigma).

La loi de Lévy possède une queue lourde, exprimée par la formule :

f(x;\mu,c)\, \underset{x\rightarrow \infty}{\sim} \,\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~\frac{1}{x^{3/2}}.

Cette propriété est illustrée par la représentation de la densité sur un repère log-log.

Densité de probabilité d la loi de Lévy sur un repère log-log.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Lévy est donnée par :

F(x;\mu,c)=\begin{cases}\displaystyle\textrm{erfc}\left(\sqrt{c/2(x-\mu)}\right) &\text{ si } x>\mu\\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}

\textrm{erfc} est la fonction d'erreur complémentaire.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction caractéristique de la loi de Lévy est :

\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.

On peut écrire cette fonction caractéristique sous la forme plus classique des lois stables :

\varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~\textrm{sign}(t))}.

Moments[modifier | modifier le code]

Pour \mu=0, le n-ième moment de la loi de Lévy est donné formellement par :

m_n\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x}\,x^n}{x^{3/2}}\,dx.

Cette intégrale diverge pour tout n>0, ainsi les moments de la loi de Lévy ne sont pas définis. La fonction génératrice des moments est donnée formellement par  :

M(t;c)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\int_0^\infty \frac{e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}\,dx.

L'intégrale diverge pour t>0 et est ainsi non définie sur tout intervalle autour de zéro, la fonction génératrice des moments n'est donc pas définie.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]