Loi géométrique stable

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Loi géométrique stable
Paramètres  \alpha \in ]0,2], paramètre de forme,
 \beta\in [-1,1], paramètre d'asymétrie,
 \lambda \in ]0,\infty[, paramètre d'échelle

 \mu \in ]-\infty,\infty[, paramètre de position

Support  x\in \mathbb R,
ou  x \in [\mu, +\infty [ si  \alpha < 1 et  \beta = 1,
ou  x \in ]-\infty,\mu] si  \alpha  < 1 et  \beta = -1.
Densité de probabilité (fonction de masse) pas d'expression analytique
(sauf pour certains paramètres)
Fonction de répartition pas d'expression analytique
(sauf pour certains paramètres)
Médiane  \mu pour   \beta = 0
Mode  \mu pour   \beta = 0
Variance  2\lambda^2 si   \alpha=2,
infinie sinon
Asymétrie 0 si   \alpha=2,
infinie sinon
Kurtosis normalisé 3 si   \alpha=2,
infini sinon
Fonction génératrice des moments non définie
Fonction caractéristique \!\Big[1+\lambda^{\alpha}|t|^{\alpha} \omega  - i \mu t]^{-1},

avec \omega  = \begin{cases} \scriptstyle 1 - i\tan\tfrac{\pi\alpha}{2} \beta\, \operatorname{sign}(t) & \text{si }\scriptstyle \alpha \ne 1 \\ \scriptstyle 1 + i\tfrac{2}{\pi}\beta\log|t| \, \operatorname{sign}(t) & \text{si }\scriptstyle \alpha = 1 \end{cases}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique stable est un type de loi de probabilité leptokurtique. La loi géométrique stable peut être symétrique ou asymétrique. Cette loi est également appelée loi de Linnik. Les lois de Laplace et de Mittag-Leffler en sont des cas particuliers.

La loi géométrique stable a des applications en finance[1],[2],[3].

Définition[modifier | modifier le code]

Pour la plupart des lois géométriques stables, la densité de probabilité et la fonction de répartition n'ont pas d'expression analytique. Cependant, une loi géométrique stable peut être définie par sa fonction caractéristique donnée par la formule[4] :

\varphi(t;\alpha,\beta,\lambda,\mu) = [1+\lambda^{\alpha}|t|^{\alpha} \omega  - i \mu t]^{-1}

\omega  = \begin{cases} 1 - i\tan\tfrac{\pi\alpha}{2} \beta \, \operatorname{sign}(t) & \text{si }\alpha \ne 1, \\
                  1 + i\tfrac{2}{\pi}\beta\log|t| \operatorname{sign}(t) & \text{si }\alpha = 1. \end{cases}
\alpha \in ]0,2] est la paramètre de forme, il renseigne sur la longue traine de la loi[4]. Plus \alpha est petit, plus la queue est lourde.
\beta\in [-1,1] est le paramètre d'asymétrie[4].
Si \beta<0, la loi est décalée vers la gauche et si \beta>0, la loi est décalée vers la droite.
Si \beta=0, la loi est symétrique et la fonction caractéristique s'exprime sous la forme[4] : \varphi(t;\alpha, 0, \lambda,\mu) = [1+\lambda^{\alpha}|t|^{\alpha} - i \mu t]^{-1}.
Bien que \beta détermine l'asymétrie de la loi, il ne doit pas être confondu avec le coefficient d'asymétrie qui, dans la plupart des cas, n'est pas défini pour une loi géométrique stable.
\lambda>0 est le paramètre d'échelle et \mu est le paramètre de position[4].
  • La loi géométrique stable avec \mu=0 est également appelée la loi de Linnik[5],[6].
  • Une loi géométrique stable complètement décalée, c'est-à-dire avec \beta=1, \alpha<1 et 0<\mu<1, est également appelée la loi de Mittag–Leffler[7].
  • Lorsque \alpha=2, \beta=0 et \mu=0 (c'est-à-dire, la loi géométrique stable est symétrique ou \alpha=2), la loi est alors la loi de Laplace symétrique[5] de moyenne 0 et dont la densité de probabilité est donnée par : f(x|0,\lambda) = \frac{1}{2\lambda} \exp \left( -\frac{|x|}{\lambda} \right).
La loi de Laplace a pour variance 2\lambda^2. Cependant pour \alpha<2, la variance de la loi géométrique stable est infinie.

Relation avec la loi stable[modifier | modifier le code]

La loi géométrique stable a une propriété de stabilité similaire à la loi stable, mais où le nombre d'éléments dans la somme est une variable aléatoire de loi géométrique : si X_1, X_2,\dots sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi géométrique stable, alors il existe des coefficients a_{N_p} et b_{N_p} tels que la limite de la somme Y = a_{N_p} (X_1 + X_2 + \cdots + X_{N_p}) + b_{N_p} lorsque p tend vers l'infini est une variable aléatoire de même loi que celle des Xi et où Xp est une variable aléatoire de loi géométrique[2] de paramètre p :

\mathbb{P}(N_p = n) = (1 - p)^{n-1}\,p\, .

La loi est dite strictement géométrique stable si[1] il existe a tel que la somme Y = a (X_1 + X_2 + \cdots + X_{N_p}) a même loi que la loi des Xi.

Il existe également une relation entre la fonction caractéristique de la loi stable et celle de la loi géométrique stable. La fonction caractéristique de la loi stable est :

\Phi(t;\alpha,\beta,\lambda,\mu) = \exp\left[~it\mu\!-\!|\lambda t|^\alpha\,(1\!-\!i \beta \operatorname{sign}(t)\Omega)\right] ,
\Omega = \begin{cases} \tan\tfrac{\pi\alpha}{2} & \text{si }\alpha \ne 1 ,\\ -\tfrac{2}{\pi}\log|t| & \text{si }\alpha = 1. \end{cases}

La fonction caractéristique de la loi géométrique stable peut être exprimée par[8] :

\varphi(t;\alpha,\beta,\lambda,\mu) = [1 - \log(\Phi(t;\alpha,\beta,\lambda,\mu))]^{-1} .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Rachev, S. & Mittnik, S., Stable Paretian Models in Finance, Wiley,‎ 2000, 34–36 p. (ISBN 978-0-471-95314-2)
  2. a et b (en) Trindade, A.A.; Zhu, Y. & Andrews, B., « Time Series Models With Asymmetric Laplace Innovations »,‎ May 18, 2009, p. 1–3
  3. (en) Meerschaert, M. & Sceffler, H., « Limit Theorems for Continuous Time Random Walks », p. 15
  4. a, b, c, d et e (en) Kozubowski, T.; Podgorski, K. & Samorodnitsky, G., « Tails of Levy Measure of Geometric Stable Random Variables », p. 1–3
  5. a et b (en) Kotz, S.; Kozubowski, T. & Podgórski, K., The Laplace distribution and generalizations, Birkhauser,‎ 2001 (ISBN 978-0-8176-4166-5), p. 199–200
  6. (en) Kozubowski, T., « A Note on Certain Stability and Limiting Properties of ν-infinitely divisible distribution », Int. J. Contemp. Math. Sci., vol. 1, no 4,‎ 2006, p. 159 (lire en ligne)
  7. (en) Burnecki, K.; Janczura, J.; Magdziarz, M. & Weron, A., « Can One See a Competition Between Subdiffusion and Levy Flights? A Care of Geometric Stable Noise », Acta Physica Polonica B, vol. 39, no 8,‎ 2008, p. 1048 (lire en ligne)
  8. (en) « Geometric Stable Laws Through Series Representations », Serdica Mathematical Journal, vol. 25,‎ 1999, p. 243 (lire en ligne)