Loi normale rectifiée

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Loi normale rectifiée
Paramètres \mu\in \mathbb R paramètre de position
\sigma > 0\, paramètre d'échelle
Support x \in [0, +\infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \scriptstyle \Phi(-\frac{\mu}{\sigma})\delta(x)+ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\textrm{U}(x).

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale rectifiéeest une modification de la loi normale lorsque ses valeurs négatives sont « remises à » 0. C'est une loi mixte issue d'un mélange entre une loi de probabilité discrète (mesure de Dirac en 0) et une loi de probabilité à densité (loi normale tronquée sur \scriptstyle ]0,\infty[).

Une variable aléatoire qui suit une loi normale rectifiée est notée : X \sim \mathcal{N}^{\textrm{R}}(\mu,\sigma^2) .

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité d'une loi normale rectifiée est donnée par

 f(x;\mu,\sigma^2) =\Phi(-\frac{\mu}{\sigma})\delta(x)+ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\textrm{U}(x).
Comparaison d'une loi normale, d'une loi normale rectifiée et d'une loi normale tronquée.

Ici,  \Phi est la fonction de répartition de la loi normale :

 \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt     \quad x\in\mathbb{R},

 \delta est la distribution de Dirac :

\delta(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}

et,  \textrm{U} est la fonction de Heaviside:

\textrm{U}(x)=\begin{cases} 0, & x \leq 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

Forme alternative[modifier | modifier le code]

Une alternative simple est de considérer le cas où

 S\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2),X=\textrm{max}(0,S),

alors,

 X\sim\mathcal{N}^{\textrm{R}}(\mu,\sigma^2)

Références[modifier | modifier le code]