Théorème de Donsker

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Simulations de Xn de n=100 à n=800 avec U de loi uniforme sur l'ensemble {-1,1}

En théorie des probabilités, le théorème de Donsker établit la convergence en loi d'une marche aléatoire vers un processus stochastique gaussien. Il est parfois appelé le théorème central limite fonctionnel.

Ce théorème est une référence pour la convergence en loi de marches aléatoires renormalisées vers un processus à temps continus. De nombreux théorèmes sont alors dits de « type Donsker ».

Énoncé classique[modifier | modifier le code]

Soient \scriptstyle(U_n, n \geq 1) une suite iid de variables aléatoires centrées, de carré intégrable et de variance \scriptstyle \sigma^2.

On interpole la marche aléatoire  \sum_{k=1}^{n}U_k de manière affine par morceaux en considérant le processus \scriptstyle (X_n(t),t \geq 0) défini par

 X_n(t)= \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1}  \right) pour t  ∈  [0,1] et où [x] désigne la partie entière de x.

Considérons l'espace \scriptstyle \mathcal C([0,1]) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit \scriptstyle \mathcal C ([0,1]) de la tribu borélienne \scriptstyle\mathcal B et de la norme infini  \scriptstyle ||.||_\infty . Ainsi, \scriptstyle X_n est une variable aléatoire à valeurs dans \scriptstyle(\mathcal C ([0,1]),\mathcal B ) .

Théorème (Donsker, 1951)[modifier | modifier le code]

La suite \scriptstyle(X_n,n \geq 1) converge en loi vers un mouvement brownien standard \scriptstyle B=(B_t,t \geq 0) quand n tend vers l'infini.

Ici B est vu comme un élément aléatoire de \scriptstyle(\mathcal C ([0,1]),\mathcal  B ).

Idées de la démonstration[modifier | modifier le code]

Notons  X_n(t)= \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{[nt]} U_k +\psi_{n,t}

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que \scriptstyle \psi_{n,t} convergence en probabilité vers 0.

Ainsi par le théorème central limite, \scriptstyle X_n(t)\underset{n \rightarrow \infty}{\stackrel{loi}{\longrightarrow}}\sqrt{t} N (converge en loi) où N est une variable aléatoire de loi normale \scriptstyle \mathcal N(0,1).

De manière similaire, on obtient successivement

 (X_n(s),X_n(t)-X_n(s)) \underset{n \rightarrow \infty}{\stackrel{loi}{\longrightarrow}} (B_s,B_{t-s})
 (X_n(s),X_n(t)) \underset{n \rightarrow \infty}{\stackrel{loi}{\longrightarrow}} (B_s,B_s+B_{t-s})
 (X_n(t_1),X_n(t_2),...,X_n(t_k)) \underset{n \rightarrow \infty}{\stackrel{loi}{\longrightarrow}} (B_{t_1},B_{t_2},...,B_{t_k})

 B est un mouvement brownien standard.

Reste à montrer que la suite \scriptstyle (X_n,n \geq 1) est tendue. Pour cela, on montre que

 \lim_{\lambda \rightarrow \infty} \underset{n \rightarrow \infty}{\lim\sup}\,  \lambda^2 \max_{k\leq n} \mathbb P ( \sum_{i=1}^{k} U_i \geq \lambda\sigma\sqrt{n})=0

On démontre d'abord cette convergence pour le cas où les variables \scriptstyle U_i sont normales. Pour généraliser à une loi quelconque, on utilise le théorème central limite et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour affiner les majorations[1].

Énoncé pour les processus empiriques[modifier | modifier le code]

Soit \scriptstyle (X_i,i \geq 1) une suite iid de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1]. On note F la fonction de répartition commune des variables \scriptstyle X_i. ( \scriptstyle F(t)=\mathbb P [X_i \leq t] ) On définit la fonction de répartition empirique Fn de l'échantillon X1,X2,...,Xn par

 F_n(t)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} 1\!\!\!1_{X_i\leq t}\, ,\, t\in [0,1]

ainsi que le processus empirique associé Wn par

 W_n(t)=\sqrt{n}(F_n(t)-F(t))= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (1\!\!\!1_{X_i\leq t}-F(t) )\, ,\, t\in [0,1].

Considérons l'espace \scriptstyle D([0,1]) des fonctions càdlàg (continues à droite et avec limites à gauche) sur [0,1] muni de la topologie de Skorokhod.

Théorème (Donsker, 1952)(conjecture de Doob, 1949) —  La suite de processus \scriptstyle (W_n,n \geq 1) converge en loi dans l'espace \scriptstyle D ([0,1]) vers un pont brownien \scriptstyle W=(W(t),t \in [0,1]) quand n tend vers l'infini.

Voir également[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Voir (en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability measures, Wiley-Interscience publication,‎ août 1999, 2e éd. (ISBN 978-0-471-19745-4, présentation en ligne) pour plus de détails.