Loi bêta-binomiale négative

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Loi Bêta-binomiale négative
Paramètres \alpha > 0, paramètre de forme
\beta > 0, paramètre de forme
 n\in \mathbb N
Support  k\in \{0,1,2,3,\dots\}
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{n^{(k)}\alpha^{(n)}\beta^{(k)}}{k!(\alpha+\beta)^{(n)}(n+\alpha+\beta)^{(k)}}
x^{(n)} est le symbole de Pochhammer croissant
Espérance \begin{cases}
              \frac{n\beta}{\alpha-1} & \text{si}\ \alpha>1    \\
              \infty & \text{sinon}\ \end{cases}
Variance \begin{cases}
              \frac{n(\alpha+n-1)\beta(\alpha+\beta-1)}{(\alpha-2){(\alpha-1)}^2} & \text{si}\ \alpha>2    \\
              \infty & \text{sinon}\ \end{cases}
Asymétrie \begin{cases}
              \frac{(\alpha+2n-1)(\alpha+2\beta-1)}{(\alpha-3)\sqrt{\frac{n(\alpha+n-1)\beta(\alpha+\beta-1)}{\alpha-2}}} & \text{si}\ \alpha>3    \\
              \infty & \text{sinon}\ \end{cases}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta-binomiale négative est la loi de probabilité discrète d'une variable aléatoire X égale au nombre d'échecs nécessaires pour obtenir n succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli où la probabilité p du succès est une variable aléatoire de loi bêta. La loi est alors une loi mélangée.

Cette loi a également été appelée la loi inverse Markov-Pólya et la loi de Waring généralisée[1]. Une version avec dérive de cette loi a été appelée la loi bêta-Pascal[1].

Si les paramètres de la loi bêta sont \alpha et \beta, et si

X \mid p \sim \mathrm{NB}(n,p),

 p \sim \textrm{B}(\alpha,\beta),

alors la loi marginale de X est la loi bêta-binomiale négative :

X \sim \mathrm{BNB}(n,\alpha,\beta).

Dans les notations ci-dessus, \mathrm{NB}(n,p) est la loi bêta-binomiale et \textrm{B}(\alpha,\beta) est la loi bêta.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Johnson et al. (1993)
  • Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (Section 6.2.3)
  • Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
  • Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 DOI:10.1016/j.jspi.2010.09.020