Inégalité de Berry-Esseen

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Le théorème central limite en probabilité et statistiques établit que sous certaines conditions la moyenne d'échantillons, considérée comme une variable aléatoire, est distribuée selon une loi qui tend de plus en plus vers la loi normale lorsque la taille de l'échantillon augmente. L' inégalité de Berry–Esseen, connue aussi sous le nom de théorème de Berry–Esseen, essaie de quantifier la vitesse avec laquelle s'effectue la convergence vers la loi de Laplace-Gauss.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'inégalité a été découverte par deux mathématiciens, Andrew C. Berry en 1941 et Carl-Gustav Esseen en 1942[i 1],[i 2]. Ce dernier l'améliora avec d'autres auteurs plusieurs fois dans les décennies qui suivirent[1]. En particulier, Irina G. Shevtsova afina en 2006 l'estimation de la constante C par rapport aux estimations données par Berry et Esseen[i 3],[i 4].

Théorème simplifié[modifier | modifier le code]

Illustration de la différence entre les courbes des fonctions de répartition à laquelle fait allusion le théorème.

Une des versions, sacrifiant la généralité à la clarté établit que :

Théorème —  Il existe une constante C telle que si X_1,X_2, \cdots ,X_n sont des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, admettant des moments d'ordres de 1 à 3, d'espérance mathématique \mathbb E[X_i]=0, de variance \operatorname{Var} (X_i) = \mathbb E[X_i^2]=\sigma^2 > 0 et  \mathbb  E[|X_i|^3] = \rho < +\infty, et si on note Y_{n} = {X_1 + X_2 + \cdots + X_n \over n} la moyenne d'échantillon de ces variables, F_n la fonction de répartition de {Y_n \sqrt{n} \over {\sigma}} et \Phi la fonction de répartition de la loi normale, alors pour tout x et pour tout n

\left|F_{n}(x) - \Phi(x)\right| \le {C \rho \over \sigma^3\,\sqrt{n}}.\ \ \ \ (1)

Pour résumer, étant donnée une suite de variables aléatoires indépendantes de distributions identiques, d'espérance nulle, d'écart type strictement positif, et de moment d'ordre trois fini, la fonction de répartition de la distribution des moyennes d'échantillonnage et celle de la loi normale diffèrent — écart vertical sur la figure ci-contre — de moins d'un nombre spécifique dont le comportement asymptotique à l'infini est de l'ordre de \underset{n\to+\infty}O \left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right).

Course au meilleur majorant[modifier | modifier le code]

Les valeurs calculées de la constante C ont chuté rapidement au cours des années, en partant de la valeur originale de 7,59 d'Esseen, pour aboutir à 0,4784 de Asof en 2011, en passant par 0,7882 de Van Beek en 1972, puis 0,7655 par Shiganov en 1986, 0,7056 et 0,7005 par Shevtsova en 2007 et 2008, 0,5894 de Ilya Tyurin en 2009, 0,5129 par Victor Korolev et Shevtsova en 2009, puis 0,4785 par Tyurin en 2010[i 5].

Théorème général[modifier | modifier le code]

En 1941, Andrew C. Berry montra que si X_1,X_2, \cdots ,X_n sont des variables aléatoires indépendantes d'espérance mathématique \mathbb E[X_i]=0, de variances \mathbb E[X_{i}^2]=\sigma_{i}^2 >0, et de moments d'ordre 3 \mathbb E[|X_{i}|^3] = \rho_{i} <  \infty. Si S_{n} = {X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} \over \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2}} est la n-ième somme partielle normalisée, F_n la fonction de répartition de S_n, et \Phi celle de la distribution de Laplace-Gauss, et si on note \vec{\sigma}=(\sigma_1,...,\sigma_n),\ \vec{\rho}=(\rho_1,...,\rho_n), alors pour tout n, il existe une constante C_1 telle que \sup_x\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_1\cdot\psi_1,\ \ \ \ (2)

\psi_1=\psi_1\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-1/2}\cdot\max_{1\le
i\le n}\frac{\rho_i}{\sigma_i^2}.

De même, et indépendamment de Berry, en 1942, Carl-Gustav Esseen démontra que pour tout n il existe une constante C_0 telle que \sup_x\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_0\cdot\psi_0, \ \ \ \ (3)

\psi_0=\psi_0\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-3/2}\cdot\sum\limits_{i=1}^n\rho_i.

Il est facile de montrer que \psi_0 \le \psi_1. À cause de ces circonstances, l'inégalité (3) est par convention appelée l'inégalité de Berry-Esseen, et la quantité \psi_0 est nommée fraction de Liapounov du troisième ordre. De plus, dans le cas où les variables X_i sont identiquement distribuées \psi_0=\psi_1=\frac{\rho_1}{\sigma_1^3\sqrt{n}} et les bornes établies dans les inégalités (1), (2) et (3) coïncident.

Minorant de C0[modifier | modifier le code]

Concernant C_0 la borne inférieure établie par G. C. Esseen en 1956 reste toujours valide C_0\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} = 0,4097\ldots .

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Berry–Esseen theorem » (voir la liste des auteurs)


Références[modifier | modifier le code]

Ouvrages spécialisés[modifier | modifier le code]

Articles publiés sur internet[modifier | modifier le code]

  1. [PDF] (en) Ilya Tyurin, « « Some new advances in estimating the rate of convergence in Lyapunov’s theorem » », « 3rd Northern Triangular Seminar »,‎ avril 2011 (consulté le 21 avril 2012)
  1. (en) Andrew C. Berry, « « The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates » », « Transactions of the American Mathematical Society », vol. 49, no 1,‎ 1941, p. 122–136 (lire en ligne)
  2. [PDF] (en) Carl-Gustav Esseen, « « On the Liapunoff limit of error in the theory of probability » », « Arkiv for Matematik Astronomi och Fysik », vol. A28, no 9,‎ 1942, p. 1–19
  3. (en) Irina G. Shevtsova, « « A refinement of the upper estimate of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality. » », « Theory of Probability and its Applications », vol. 51, no 3,‎ 2006, p. 622–626
  4. [PDF](en) Irina G. Shevtsova, « « On the absolute constants in the Berry–Esseen type inequalities for identically distributed summands » », « Cornell University Library »,‎ 2011 (lire en ligne)
  5. (en) Victor Korolev et Irina Shevtsova, « An improvement of the Berry-Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums », Scandinavian Actuarial Journal,‎ 2010, p. 1–25 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]