Loi de Zipf

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Loi de Zipf
Image illustrative de l'article Loi de Zipf
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
pour N = 10 dans un repère log-log. L'axe horizontal est l'indice k. (la fonction est discrète, les droites de couleur n'indiquent pas de continuité.)

Image illustrative de l'article Loi de Zipf
Fonction de répartition
pour N = 10. L'axe horizontal est l'indice k. (la fonction est discrète, les courbes de couleur n'indiquent pas de continuité.)

Paramètres s>0\,
N \in \{1,2,3\ldots\}
Support k \in \{1,2,\ldots,N\}
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{H_{N,s}}\frac{1}{k^s}
Fonction de répartition \frac{H_{k,s}}{H_{N,s}}
Espérance \frac{H_{N,s-1}}{H_{N,s}}
Mode 1\,
Entropie \frac{s}{H_{N,s}}\sum_{k=1}^N\frac{\ln(k)}{k^s}
+\ln(H_{N,s})
Fonction génératrice des moments \frac{1}{H_{N,s}}\sum_{n=1}^N \frac{e^{nt}}{n^s}
Fonction caractéristique \frac{1}{H_{N,s}}\sum_{n=1}^N \frac{e^{int}}{n^s}

La loi de Zipf est une observation empirique concernant la fréquence des mots dans un texte. Elle a pris le nom de son auteur, George Kingsley Zipf (1902-1950). Cette loi a d'abord été formulée par Jean-Baptiste Estoup[1] et a été par la suite démontrée à partir de formules de Shannon par Benoît Mandelbrot. Elle est parfois utilisée en dehors de ce contexte, par exemple, la taille et le nombre des villes dans chaque pays, lorsque cette loi semble mieux répondre aux chiffres que la distribution de Pareto[2].

Genèse[modifier | modifier le code]

Fréquence des mots en fonction du rang dans la version originale d'Ulysse de James Joyce.

Zipf avait entrepris d'analyser une œuvre monumentale de James Joyce, Ulysse, d'en compter les mots distincts, et de les présenter par ordre décroissant du nombre d'occurrences. La légende dit que :

  • le mot le plus courant revenait 8 000 fois ;
  • le dixième mot 800 fois ;
  • le centième, 80 fois ;
  • et le millième, 8 fois.

Ces résultats semblent, à la lumière d'autres études que l'on peut faire en quelques minutes sur son ordinateur, un peu trop précis pour être parfaitement exacts — le dixième mot dans une étude de ce genre devrait apparaître dans les 1 000 fois, en raison d'un effet de coude observé dans ce type de distribution. Reste que la loi de Zipf prévoit que dans un texte donné, la fréquence d'occurrence f(n) d'un mot est liée à son rang n dans l'ordre des fréquences par une loi de la forme f(n)=\frac{K}{n}K est une constante.

Point de vue théorique[modifier | modifier le code]

Mathématiquement, il est impossible pour la version classique de la loi de Zipf de tenir exactement s'il existe une infinité de mots dans une langue, puisque pour toute constante de proportionnalité c > 0, la somme de toutes les fréquences relatives est proportionnelle à la série harmonique et doit être

\sum_{n=1}^\infty \frac{c}{n}=\infty\neq 1.

Des observations citées par Léon Brillouin dans son livre Science et théorie de l'information suggérèrent qu'en anglais, les fréquences parmi les 1 000 mots les plus fréquemment utilisés étaient approximativement proportionnels à \frac {1}{n^s}\, avec s juste légèrement plus grand que 1. On sait toutefois que le nombre de mots d'une langue est limité. Le vocabulaire (passif) d'un enfant de 10 ans tourne autour de 5 000 mots, celui d'un adulte cultivé de 70 000[réf. souhaitée], et les dictionnaires en plusieurs volumes peuvent contenir de 130 000 à 200 000 mots.

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

Notons les paramètres de la loi de Zipf par N\in \mathbb N^* pour le nombre d'éléments (de mots), k\in \mathbb N^* leur rang, et le paramètre s>0. La fonction de masse de la loi de Zipf est donnée par :

f(k)=\frac{1}{H_{N,s}}\frac{1}{k^s},

H_{N,s}=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^s} est le N-ième nombre harmonique généralisé. Cette loi est bien définie pour tout N entier fini.

La loi classique de Zipf où le paramètre N est infini, n'est défini que pour s>1. En effet, la somme des valeurs de la fonction de masse est alors égale à la fonction zêta de Riemann :

\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\zeta(s)<\infty \Leftrightarrow s>1.

Un cas particulier d'une loi générale[modifier | modifier le code]

Benoît Mandelbrot démontra dans les années 1950 qu'une classe de lois dont celle de Zipf est un cas particulier pouvait se déduire de deux considérations liées à la théorie de l'information de Claude Shannon.

Loi statique de Shannon[modifier | modifier le code]

Selon la loi statique, le coût de représentation d'une information augmente comme le logarithme du nombre des informations à considérer.

Il faut par exemple 5 bits pour représenter les entiers de 0 à 31, mais 16 pour les entiers de 0 à 65 535. De même, on peut former 17 576 sigles de 3 lettres, mais 456 976 de 4 lettres, etc.

Loi dynamique de Shannon[modifier | modifier le code]

La loi dynamique indique comment maximiser l'utilité d'un canal par maximisation de l'entropie en utilisant prioritairement les symboles les moins coûteux. Ainsi en code Morse le e, lettre fréquente, est codé par un simple point (.) tandis que le x, lettre plus rare, se représente par un trait point point trait (-..-). Le codage de Huffman met en application cette loi dynamique.

La synthèse de Mandelbrot[modifier | modifier le code]

Mandelbrot émet l'hypothèse audacieuse que le coût d'utilisation est directement proportionnel au coût de stockage, ce qu'il constate comme étant vrai sur tous les dispositifs qu'il a observés, de l'écriture comptable jusqu'aux ordinateurs[3].

Il élimine donc le coût entre les deux équations et se retrouve avec une famille d'équations liant nécessairement la fréquence d'un mot à son rang si l'on veut que le canal soit utilisé de façon optimale. C'est la loi de Mandelbrot, dont celle de Zipf ne représente qu'un cas particulier, et qui est donnée par la loi :

f(n) \times (a + bn)^c = K\, où K est une constante.

la loi se ramenant à celle de Zipf dans le cas particulier où a vaudrait 0, b et c tous deux 1, cas qui ne se rencontre pas dans la pratique. Dans la plupart des langues existantes, c est voisin de 1,1 ou 1,2, et proche de 1,6 dans le langage des enfants[3].

Courbe log-log de la fréquence en fonction du rang dans un forum du Net nommé Gazette.

Les lois de Zipf et de Mandelbrot prennent un aspect spectaculaire si on les trace selon un système de coordonnées log-log : la loi de Zipf correspond alors à une belle droite, et celle de Mandelbrot à la même chose avec un coude caractéristique. Ce coude se retrouve précisément dans les textes littéraires disponibles sur la Toile, analysables en quelques minutes sur ordinateur domestique. La courbe fournie ici représente le logarithme décimal du nombre d'occurrences des termes d'un forum du Web tracé en fonction du logarithme décimal du rang de ces mots.

  • On constate que le mot le plus fréquent y apparaît un peu plus de 100 000 fois (105).
  • La taille du vocabulaire effectivement utilisé (il serait plus exact de parler de la taille de l'ensemble des formes fléchies) est de l'ordre de 60 000 (#104.7).
  • L'aspect linéaire de Zipf y apparaît clairement, bien que le coude caractéristique expliqué par Mandelbrot n'y soit que léger. On notera aussi que la pente n'est pas exactement de −1 comme le voudrait la loi de Zipf.
  • L'intersection projetée de cette courbe avec l'axe des abscisses fournirait à partir d'un texte de taille limitée (quelques pages A4 dactylographiées) une estimation de l'étendue du vocabulaire d'un scripteur. Précisions :
    • Nous nous livrons déjà subjectivement à la même estimation en lisant quelques pages d'un écrivain que nous ne connaissons pas, et c'est ce qui nous permet en feuilletant un ouvrage d'estimer si l'étendue de son vocabulaire est en adéquation avec la nôtre.
    • La répétition de mots se voulant savants comme extemporanément ou hiératique ne fera pas illusion, puisque c'est la répétition elle-même qui constitue l'indice de pauvreté du vocabulaire et non les mots utilisés, quels qu'ils soient.

Ces deux derniers points sont signalées par le physicien Léon Brillouin dans son ouvrage Science et théorie de l'information.

Similitudes[modifier | modifier le code]

Le rapport entre lois de Zipf et de Mandelbrot d'une part, entre lois de Mariotte et de van der Waals d'autre part est similaire : on a dans les premiers cas une loi de type hyperbolique, dans les secondes une légère correction rendant compte de l'écart entre ce qui était prévu et ce qui est observé, et proposant une justification. Dans les deux cas, un élément de correction est l'introduction d'une constante manifestant quelque chose d'« incompressible » (chez Mandelbrot, le terme « a » de la loi).

On peut aussi noter une ressemblance avec la loi de Benford qui porte sur le premier chiffre de chaque nombre d'un ensemble de données statistiques, et qui se démontre aussi, cette fois-ci par des considérations d'invariance en fonction du système d'unités utilisé.

La distribution des vitesses dans un gaz répond aussi à une exigence d'invariance par rotation des coordonnées. Ce domaine des lois stables a été largement étudié par le mathématicien Paul Lévy, que Mandelbrot eut précisément à Polytechnique comme professeur.

Une loi à utiliser avec prudence[modifier | modifier le code]

Apparence « zipfienne » d'une loi uniforme

Il est tentant chaque fois que l'on voit des informations classées par ordre décroissant de se dire : « Elles doivent suivre une loi de Zipf ». Sans que ce soit nécessairement faux, il serait dangereux de le considérer comme allant de soi. Si nous prenons par exemple 100 entiers aléatoires entre 1 et 10 selon une loi uniforme discrète, que nous les regroupons et que nous trions le nombre d'occurrences de chacun, nous obtenons la courbe ci-contre.

On admettra que si l'on se fie juste à une première impression visuelle, cette courbe paraît très « zipfienne », alors que c'est un tout autre modèle qui a engendré la série des données. Or il n'est pas possible de faire commodément un Khi2 sur la loi de Zipf, le tri des valeurs venant faire obstacle à l'usage d'un modèle probabiliste classique (n'oublions pas en effet que la répartition des occurrences n'est pas celle des probabilités d'occurrences, et que cela peut conduire à beaucoup d'inversions dans les tris).

La famille de distributions de Mandelbrot est certes démontrée adéquate de façon formelle pour un langage humain sous ses hypothèses de départ concernant le coût de stockage et le coût d'utilisation, qui découlent elles-mêmes de la théorie de l'information. En revanche il n'est pas prouvé qu'utiliser la loi de Zipf comme modèle pour la distribution des populations des agglomérations d'un pays soit un modèle pertinent — bien que le contraire ne soit pas prouvé non plus.

De plus l'estimation des paramètres de Mandelbrot à partir d'une série de données pose également problème et fait encore aujourd'hui l'objet de débats. Il ne saurait être question par exemple d'utiliser une méthode de moindres carrés sur une courbe en log-log[4] dont de surcroît le poids des points respectifs est loin d'être comparable. Mandelbrot lui-même n'a apparemment pas fait de nouvelle communication sur le sujet depuis la fin des années 1960.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Micheline Petruszewycz, « L'histoire de la loi d'Estoup-Zipf : documents », Mathématiques et sciences humaines, vol. 44,‎ 1973, p. 41-56 (lire en ligne [PDF])
  2. Benoît Mandelbrot, « Étude de la loi d'Estoup et de Zipf : fréquences des mots dans le discours », dans Logique, langage et théorie de l'information, Paris, Presses universitaires de France,‎ 1957 (lire en ligne), p. 22-53
  3. a et b Léon Brillouin, La Science et la théorie de l'information, 1959, réédité en 1988, traduction anglaise rééditée en 2004
  4. Quel sens donner en effet au carré d'un logarithme ?