Loi exponentielle

Exponentielle
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Fonction de répartition
Paramètres	$\lambda > 0 \,$ intensité ou inverse de l'échelle (réel)
Support	$[0, \infty[\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\lambda e^{-\lambda x}$
Fonction de répartition	$1 - e^{-\lambda x}$
Espérance	$\dfrac{1}{\lambda}\,$
Médiane	$\dfrac{\ln(2)}{\lambda}\,$
Mode	$0\,$
Variance	$\dfrac{1}{\lambda^2}\,$
Asymétrie	$2\,$
Kurtosis normalisé	$6\,$
Entropie	$1 - \ln(\lambda)\,$
Fonction génératrice des moments	$\left(1 - \dfrac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,$
Fonction caractéristique	$\left(1 - \dfrac{it}{\lambda}\right)^{-1}\,$

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire, ou sans vieillissement, ou sans usure : la probabilité que le phénomène dure au moins s+t heures sachant qu'il a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t.

Plus formellement, soit X est une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène, d'espérance E(X). On suppose que : $\forall (s, t)\in \R^{+\,2},\; \mathbb{P}(X>s+t|X>t)=\mathbb{P}(X>s)$

Alors, la densité de probabilité de X est définie par :

• $f(t) = 0$ si t < 0
• $f(t) = \dfrac{1}{\mathbb E(X)}\mathrm{e}^{-\frac{t}{\mathbb E(X)}}$ pour tout t ≥ 0.

et on dit que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{\mathbb E(X)}$. Réciproquement, une variable aléatoire ayant cette loi vérifie la propriété d'être sans mémoire.

Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d'un composant électronique. Elle peut aussi être utilisée pour décrire par exemple le temps écoulé entre deux coups de téléphone reçus au bureau, ou le temps écoulé entre deux accidents de voiture dans lequel un individu donné est impliqué.

Définition

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la distribution exponentielle prend la forme

$f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

où λ > 0 est un paramètre. La distribution a pour support l'intervalle $\scriptstyle [0,\infty[$.

Fonction de répartition

La fonction de répartition est donnée par

$F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.$

Espérance, variance, écart type, médiane

Densité d'une durée de vie d'espérance 10 de loi exponentielle ainsi que sa médiane.

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ

Nous savons, par construction, que l'espérance de X est $\dfrac{1}{\lambda}$.

On calcule la variance en intégrant par parties ; on obtient : $\dfrac{1}{\lambda^2}$.

L'écart type est donc $\dfrac{1}{\lambda}$.

La médiane, c'est-à-dire le temps T tel que P(X>T) = 0,5, est $\dfrac{\ln(2)}{\lambda}=\mathbb E(X)\ln(2)$.

Propriété d'absence de mémoire

Une propriété importante de la distribution exponentielle est la perte de mémoire ou absence de mémoire. Cette propriété se traduit mathématiquement par l'équation suivante:

$\mathbb P(T > s + t\; |\; T > t) = \mathbb P(T > s) \;\; \forall\ s, t \ge 0.$

Imaginons que X représente la durée de vie d'une ampoule à LED avant qu'elle ne tombe en panne: la probabilité qu'elle dure au moins s+t heures sachant qu'elle a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. En d'autres mots, le fait qu'elle ne soit pas tombée en panne pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t. Il est à noter que la probabilité qu'une ampoule "classique" (à filament) tombe en panne ne suit une loi exponentielle qu'en première approximation, puisque le filament s'évapore lors de l'utilisation, et vieillit.

Calcul de P(X > t)

Si on appelle F(t) la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t, le fait que la durée de vie soit sans vieillissement se traduit par l'égalité suivante :

$\dfrac{F(T+t)}{F(T)}=F(t)$

Puisque la fonction F est monotone et bornée, cette équation implique que F est une fonction exponentielle. Il existe donc k réel tel que pour tout t :

$F(t) = \mathrm{e}^{kt}.$

Notons que k est négatif, puisque F est inférieure à 1. La densité de probabilité f est définie, pour tout t ≥ 0, par :

$f(t) = -k\mathrm{e}^{kt}.$

Le calcul de l'espérance de X, qui doit valoir E(X) conduit à l'équation:

$\int_0^{+\infty}-kt \mathrm{e}^{kt}\,\mathrm dt=\mathbb E(X).$

On calcule l'intégrale en intégrant par parties ; on obtient :

$k =- \dfrac{1}{\mathbb E(X)} = -\lambda.$

Donc

$\mathbb P(X > t) = \mathrm{e}^{-\frac{t}{E(X)}}$

et

$f(t)=\dfrac{1}{\mathbb E(X)} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\mathbb E(X)}}.$

Champ d'application

Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité (Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration.

La durée de vie moyenne $\dfrac{1}{\lambda}$ s'appelle le temps caractéristique.

La loi des grands nombres permet de dire que la concentration d'atomes radioactifs va suivre la même loi. La médiane $\dfrac{\ln(2)}{\lambda}$ correspond au temps T nécessaire pour que la population passe à 50 % de sa population initiale et s'appelle la demi-vie ou période.

On modélise aussi fréquemment la durée de vie d'un composant électronique par une loi exponentielle.

Durée de vie minimale

Si les variables aléatoires X, Y sont indépendantes et suivent deux lois exponentielles de paramètres λ, μ, alors Z = inf(X; Y) est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ + μ.

Cette observation est très utile pour déterminer l'espérance de vie d'un système constitué de deux composants en série.

Lien avec la loi géométrique

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si $\scriptstyle\ X\$ suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si $\scriptstyle\ Y=\lceil\theta X\rceil,\ \theta>0,\$ alors $\scriptstyle\ Y\$ suit la loi géométrique de paramètre

$p\ =\ 1-e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}.$

Démonstration

$\begin{align} \mathbb{P}(Y=k) &= \mathbb{P}(\lceil\theta X\rceil=k) \\ &= \mathbb{P}(\theta X\in]k-1,k]) \\ &= \mathbb{P}\left(X\in\left]\tfrac{k-1}{\theta},\tfrac{k}{\theta}\right]\right) \\ &= F_X\left(\tfrac{k}{\theta}\right)-F_X\left(\tfrac{k-1}{\theta}\right) \\ &= \exp\left(-\ \tfrac{k-1}{\theta}\right)-\exp\left(-\ \tfrac{k}{\theta}\right) \\ &= \left(e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right)^{k-1}\ \left(1-e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right). \end{align}$

Notons que, pour un nombre réel $\scriptstyle\ x,\$ $\scriptstyle\ \lceil x\rceil\$ désigne la partie entière supérieure de $\scriptstyle\ x,\$ définie par

$\lceil x\rceil\ =\ \min\left\{k\in\mathbb{Z}\ |\ k\ge x\right\}.$

En choisissant

$\theta\ =\ -\tfrac{\lambda}{\ln\left(1-p\right)},$

on fabrique ainsi, à partir d'une variable aléatoire exponentielle $\scriptstyle\ X^{\prime}\$ de paramètre $\scriptstyle\ \lambda,\$ une variable aléatoire

$Y^{\prime}=\lceil\theta X^{\prime}\rceil,$

suivant une loi géométrique de paramètre $\scriptstyle\ p\$ arbitraire (avec toutefois la contrainte $\scriptstyle\ 0<p<1\$), car $\scriptstyle\ X=\lambda\,X^{\prime}\$ suit alors une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour $\scriptstyle\ n\ge 1,\$ la variable aléatoire $\scriptstyle\ Y_n\$ suit la loi géométrique de paramètre $\scriptstyle\ p_n\$, et si

$\lim_n p_n\ = \ 0,\qquad\lim_n p_n/a_n\ = \ \lambda>0,$

alors $\scriptstyle\ a_nY_n\$ converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre $\scriptstyle\ \lambda.\$

Démonstration

On se donne une variable aléatoire exponentielle $\scriptstyle\ X\$ de paramètre 1, et on pose

$\begin{align} \theta_n &= -\tfrac{1}{\ln\left(1-p_n\right)}, \\ Y^{\prime}_n &= \lceil\theta_n X\rceil. \end{align}$

Alors $\scriptstyle\ Y_n\$ et $\scriptstyle\ Y^{\prime}_n\$ ont même loi, en vertu de la propriété précédente. Par ailleurs, pour tout $\scriptstyle\ \omega,\$

$\lim_n a_nY^{\prime}_n(\omega)\ =\ \lim_n a_n\lceil\theta_n X(\omega)\rceil=\ \left(\lim_n a_n\theta_n\right)\ X(\omega)\ =\ X(\omega)/\lambda.$

Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de $\scriptstyle\ X/\lambda\$ est la loi exponentielle de paramètre $\scriptstyle\ \lambda.\$

On peut voir ces différentes convergences comme de simples conséquences de la convergence du schéma de Bernoulli vers le processus de Poisson.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Distribution exponentielle » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Variables aléatoires élémentaires
• Variable aléatoire
• Loi géométrique