Estimateur (statistique)

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En mathématiques, un estimateur est une statistique permettant d'évaluer un paramètre inconnu relatif à une loi de probabilité (comme son espérance ou sa variance). Il peut par exemple servir à estimer certaines caractéristiques d'une population totale à partir de données obtenues sur un échantillon comme, par exemple, lors d'un sondage. La définition et l'utilisation de tels estimateurs constitue la statistique inférentielle.

La qualité des estimateurs s'exprime par leur convergence, leur biais, leur efficacité et leur robustesse. Diverses méthodes permettent d'obtenir des estimateurs de qualités différentes.

Illustrations de la notion[modifier | modifier le code]

Si l'on cherche à évaluer la taille moyenne des enfants de 10 ans, on peut effectuer un sondage sur un échantillon de la population des enfants de 10 ans (par exemple en s'adressant à des écoles réparties dans plusieurs milieux différents). La taille moyenne calculée sur cet échantillon, appelée moyenne empirique, sera un estimateur de la taille moyenne des enfants de 10 ans.

Si l'on cherche à évaluer la surface totale occupée par la jachère dans un pays donné, on peut effectuer un sondage sur plusieurs portions du territoire de même taille, calculer la surface moyenne occupée par la jachère et appliquer une règle de proportionnalité.

Si l'on cherche à déterminer le pourcentage d'électeurs décidés à voter pour le candidat A, on peut effectuer un sondage sur un échantillon représentatif. Le pourcentage de votes favorables à A dans l'échantillon est un estimateur du pourcentage d'électeurs décidés à voter pour A dans la population totale.

Si l'on cherche à évaluer la population totale de poissons dans un lac, on peut commencer par ramasser n poissons, les baguer pour pouvoir les identifier ultérieurement, les relâcher, les laisser se mélanger aux autres poissons. On tire alors un échantillon de poissons du lac, on calcule la proportion p de poissons bagués. La valeur n/p est un estimateur de la population totale de poissons dans le lac. S'il n'y a aucun poisson bagué dans l'échantillon, on procède à un autre tirage.

Un estimateur est très souvent une moyenne, une population totale, une proportion ou une variance.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Un estimateur du paramètre inconnu  \theta d'un modèle ou loi de probabilité est une fonction qui fait correspondre à une suite d'observations x_1, x_2, ..., x_n issues du modèle ou de la loi de probabilité, la valeur  \hat\theta que l'on nomme estimé ou estimation.

Définition — \hat \theta_n=f(x_1, x_2,..., x_n)

Un estimateur ne doit évidemment jamais dépendre de  \theta , il ne dépend que des observations empiriques.

Qualité d'un estimateur[modifier | modifier le code]

Un estimateur est une valeur \hat\theta calculée sur un échantillon tiré au hasard, la valeur \hat\theta est donc une variable aléatoire possédant une espérance E(\hat\theta) et une variance \operatorname{Var}(\hat\theta). On comprend alors que sa valeur puisse fluctuer selon l'échantillon. Elle a de très faibles chances de coïncider exactement avec la valeur \theta qu'elle est censée représenter. L'objectif est donc de maîtriser l'erreur commise en prenant la valeur de \hat\theta pour celle de \theta.

Biais[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Biais (statistique).

Une variable aléatoire fluctue autour de son espérance. On peut donc souhaiter que l'espérance de \hat\theta soit égale à \theta, soit qu'en "moyenne" l'estimateur ne se trompe pas.

Définition —   \operatorname{Biais}(\hat\theta)\equiv \mathbb{E}[\hat\theta]-\theta

Lorsque l'espérance \mathbb{E}(\hat\theta) de l'estimateur égale \theta, i.e. le biais est égal à zéro, l'estimateur est dit sans biais.

L'estimateur choisi précédemment sur la taille moyenne des enfants de 10 ans est un estimateur sans biais mais celui des poissons comporte un biais: le nombre de poissons estimé est en moyenne supérieur au nombre de poissons réels.

Dans son ouvrage Dynamic programming, Richard Bellman s'en prend violemment à la recherche trop systématique des estimateurs sans biais en rappelant à l'aide d'exemples que des estimateurs avec biais ont dans plusieurs cas une convergence plus rapide, et donc une efficacité pratique bien plus grande.

Erreur quadratique moyenne[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Erreur quadratique moyenne.

L'erreur quadratique moyenne (Mean Squared Error en anglais) est l'espérance du carré de l'erreur entre la vraie valeur et sa valeur estimée.

Définition — \operatorname{MSE}(\hat{\theta})\equiv\mathbb{E}\left((\hat{\theta}-\theta)^2\right).

Convergence[modifier | modifier le code]

On souhaite aussi pouvoir, en augmentant la taille de l'échantillon, diminuer l'erreur commise en prenant \hat\theta à la place de \theta. Si c'est le cas, on dit que l'estimateur est convergent (on voit aussi consistant), c'est-à-dire qu'il converge vers sa vraie valeur. La définition précise en mathématique est la suivante :

Définition —  L'estimateur \hat\theta_n est convergent s'il converge en probabilité vers \theta, soit: \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}(|\hat\theta_n - \theta| > \epsilon)=0\qquad \forall\,\epsilon > 0.

On l'interprète comme le fait que la probabilité de s'éloigner de la valeur à estimer de plus de \epsilon tend vers 0 quand la taille de l'échantillon augmente.

Cette définition est parfois écrite de manière inverse:

Définition —  L'estimateur \hat\theta_n est convergent s'il converge en probabilité vers \theta, soit: \lim_{n \to \infty}\mathbb{P}(|\hat\theta_n - \theta| \leq \epsilon)=1\qquad \forall\,\epsilon > 0.

Il existe enfin un type de convergence plus forte, la convergence presque sûre, définie ainsi pour un estimateur :

Définition — L'estimateur \hat\theta_n est fortement convergent s'il converge presque sûrement vers  \theta, soit : \mathbb{P}\left(\lim_{n \to \infty}\hat\theta_n = \theta\right)=1


Exemple : La moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance d'une variable aléatoire. La loi faible des grands nombres assure que la moyenne converge en probabilité vers l'espérance et la loi forte des grands nombres qu'elle converge presque sûrement.

Taux de convergence[modifier | modifier le code]

Efficience[modifier | modifier le code]

La variable aléatoire fluctue autour de son espérance. Plus la variance \operatorname{Var}(\hat{\theta}) est faible, moins les variations sont importantes. On cherche donc à ce que la variance soit la plus faible possible. C'est ce qu'on appelle l’efficience d'un estimateur.

Robustesse[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Robustesse (Statistiques).

Il arrive que lors d'un sondage, une valeur extrême et rare apparaisse (par exemple un enfant de 10 ans mesurant 1,80 m). On cherche à ce que ce genre de valeur ne change que de manière très faible la valeur de l'estimateur. On dit alors que l'estimateur est robuste.

Exemple: En reprenant l'exemple de l'enfant, la moyenne n'est pas un estimateur robuste car ajouter l'enfant très grand modifiera beaucoup la valeur de l'estimateur. La médiane par contre n'est pas modifiée dans un tel cas.

Estimateurs classiques[modifier | modifier le code]

On se placera dans le cas simple d'un tirage aléatoire de n individus dans une population en comportant N. On s'intéresse au caractère quantitatif Y de moyenne \overline Y et de variance V(Y). Dans l'échantillon tiré, le caractère quantitatif est y, sa moyenne est \overline y et sa variance est \sigma ^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i - \overline y)^2. Les valeurs \overline y et \sigma ^2 varient selon l'échantillon et sont donc des variables aléatoires possédant chacune une espérance, une variance et un écart type.

Estimateur de la moyenne de Y[modifier | modifier le code]

On prend en général comme estimateur de \overline Y la valeur

\overline y = \frac1n\sum_{i=1}^ny_i.

appelée moyenne empirique de Y. On démontre que c'est un estimateur sans biais, c’est-à-dire que E(\overline y) = \overline Y

Estimateur de la variance de Y[modifier | modifier le code]

On pourrait penser que \sigma^2 est un bon estimateur de V(Y). Cependant des calculs (voir écart type) prouvent que cet estimateur est biaisé, l'espérance de  \sigma^2 est toujours inférieure à V(Y). On prouve qu'un estimateur sans biais de V(Y) est :

  • \frac{n}{n-1}\sigma^2 dans le cas de tirage avec remise
  • \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\sigma^2 dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien \sigma^2 lorsque n = N).

On peut remarquer que, pour N grand, le calcul avec remise et le calcul sans remise donnent des résultats presque équivalents. (le quotient \frac{N-1}{N} est alors proche de 1). On prend donc en général, pour estimateur sans biais de V(Y) la valeur :

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_i - \overline y)^2

appelée variance empirique sans biais de Y.

Efficacité, convergence et intervalle de confiance[modifier | modifier le code]

La manière dont \overline y fluctue autour de son espérance \mathbb{E}(Y) dépend de sa variance V(\overline y). Cette variance se calcule grâce à V(Y).

  • V(\overline y) = \frac{V(Y)}{n} dans le cas d'un tirage avec remise
  • V(\overline y) =\frac{N - n}{N - 1} \frac{V(Y)}{n} dans le cas d'un tirage sans remise

On peut remarquer que, pour N très grand devant n, les deux valeurs sont très voisines. Par la suite, on ne s'intéressera donc qu'au cas du tirage avec remise en considérant que N est très grand.

On s'aperçoit que plus n est grand, plus V(\overline y) est petit. Donc, plus la taille de l'échantillon est grande, plus l'estimateur \overline y est efficace.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev précise que, pour tout réel strictement positif \epsilon,

\mathbb{P}\left(|\overline y - \overline Y| > \epsilon\right) \leq \frac{V(\overline y)}{\epsilon ^2}

donc que

\mathbb{P}\left(|\overline y - \overline Y| > \epsilon\right) \leq \frac{V(Y)}{n\epsilon ^2}

Or \frac{V(Y)}{n\epsilon ^2} converge vers 0 quand n tend vers l'infini. Il en est de même de \mathbb{P}(|\overline y - \overline Y| > \epsilon) : l'estimateur \overline y est convergent.

Enfin, il résulte du théorème de la limite centrale que pour n relativement grand, la variable aléatoire \overline y suit (approximativement) une loi normale d'espérance Y et de variance \frac{V(Y)}{n}, variance que l'on peut estimer être voisine de \frac{s^2}{n}. Pour toute loi normale, dans 95 % des cas, la variable aléatoire s'éloigne de son espérance de moins de deux fois son écart type. Dans le cas du sondage, cela signifie qu'il y a 95 % de chances que l'estimateur \overline y s'éloigne de \overline Y de moins de \frac{2s}{\sqrt n}. L'intervalle \left[\overline Y - \frac{2\sigma(Y)}{\sqrt n},  \overline Y +\frac{2\sigma(Y)}{\sqrt n}\right] est appelé intervalle de confiance à 95 %. On peut remarquer que, pour diviser par 10 la longueur de l'intervalle de confiance, ce qui consiste à augmenter la précision de l'estimateur, il faut multiplier par 102 = 100 la taille de l'échantillon.

On parle souvent de la précision d'une enquête : c'est le rapport \frac{\sigma(\overline y)}{\overline Y} entre l'écart type et la moyenne de la variable aléatoire \overline y. Si l'enquête est précise à 2 % par exemple, c'est que ce rapport est de 2 %. Cela signifie que l'intervalle de confiance à 95 % est de [0,96 \overline Y, 1,04 \overline Y]

Influence des techniques de sondages sur les estimateurs[modifier | modifier le code]

Découper la population en strates homogènes peut réduire de manière significative la valeur de la variance de l'estimateur et donc le rendre plus efficace.

Utiliser un tirage aléatoire à probabilités inégales, procéder à un sondage en plusieurs étapes ou par grappe change évidemment les formules calculées précédemment.

Enfin, l'utilisation d'informations auxilaires permet parfois d'effectuer une correction sur l'estimateur pour le rapprocher de la valeur réelle.

Construction d'estimateurs[modifier | modifier le code]

Méthode du maximum de vraisemblance[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Maximum de vraisemblance.

Comme son nom l'indique, cette méthode consiste à maximiser une fonction appelée fonction de vraisemblance, contenant le paramètre que l'on souhaite estimer. Elle aura ainsi de fortes chances d'être très proche de ce paramètre.

Fonction de vraisemblance, au vu d'un n-échantillon (x_1,...,x_i,...,x_n) :

L(x_1,...,x_i,...,x_n;\theta) = f(x_1;\theta) \times f(x_2;\theta) \times ...\times f(x_n;\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)

L'estimateur obtenu par cette méthode est généralement le meilleur possible, mais cela peut être fastidieux et surtout nécessite de maîtriser des règles mathématiques plus difficiles que la méthode des moments (voir ci-dessous).

Méthode des moments[modifier | modifier le code]

La méthode des moments permet d'estimer des paramètres : pour cela, on pose l'égalité entre moments théoriques et empiriques correspondants puis, en résolvant les équations écrites, on exprime les paramètres en fonction de ces moments.

Estimateurs et loi de probabilité[modifier | modifier le code]

Le fait de pouvoir estimer une espérance et une variance permet alors d'estimer les paramètres d'une distribution (loi normale, loi de Poisson etc.).

En probabilité, on cherche parfois à valider une loi de probabilité théorique à l'aide d'une expérience statistique. Dans le cas d'une variable discrète finie, on prend comme estimateur de chaque probabilité p_k, la fréquence f_k dans l'échantillon. Les valeurs f_k étant des variables aléatoires, il est normal que ces estimateurs ne coïncident pas complètement avec les valeurs p_k. Pour vérifier si les différences trouvées sont significatives ou non, on effectue des tests d'adéquations dont le plus connu est le test du χ².

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (fr) FAVRE J.P., (2009) Mathématiques de gestion, Digilex, 2009, ISBN 978-2-940404-01-8
  • (fr) DAGNELIE P. (2007) Statistique théorique et appliquée. Tome 1 : Statistique descriptive et base de l'inférence statistique. Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier.
  • (fr) DAGNELIE P. (2006) Statistique théorique et appliquée. Tome 2 : Inférence statistique à une et à deux dimensions. Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier.
  • (fr) DROESBECKE J.-J. (2001) Éléments de statistique. Paris, Ellipses.
  • (fr) ESCOFIER B., PAGES J. (1997) Initiation au traitement statistique : Méthodes, méthodologie. PUR, Rennes.
  • (fr) FALISSARD B., MONGA (1993) Statistique : concepts et méthodes. Paris, Masson.
  • (fr) ROUANET H., BERNARD J.-M., LE ROUX B. (1990) : Statistique en sciences humaines : analyse inductive des données. Paris, Dunod.
  • Gilbert Saporta, Probabilités, Analyse des données et Statistiques, Paris, Éditions Technip,‎ 2006, 622 p. (ISBN 978-2-7108-0814-5, lire en ligne) [détail des éditions]
  • (fr) VEYSSEYRE R. (2002) Statistique et probabilité pour l'ingénieur. Paris, Dunod.
  • (en) LEHMANN, E.L. (1983) "THEORY OF POINT ESTIMATION". John Wiley and Sons, New York.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • estimateur cours de Bernart Ycart
  • Estimation cours de l'INSA de Lyon
  • Glossaire sur l'estimation
  • Rémy Clairin et Philippe Brion, Manuel de sondages. Application aux pays en développement. Paris, Centre français sur la population et le développement, 1996.