Loi logit-normale

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Logit-normal
Image illustrative de l'article Loi logit-normale
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres σ2 > 0,
\mu \in  \mathbb R
Support x\in ]0,1[
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{(\operatorname{logit}(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}\frac{1}{x (1-x)}
Fonction de répartition \frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{\operatorname{logit}(x)-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big)\Big]
Espérance pas d'expression analytique
Médiane P(\mu)\,
Mode pas d'expression analytique
Variance pas d'expression analytique
Fonction génératrice des moments pas d'expression analytique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi logit-normale est une loi de probabilité telle que la fonction logit de cette loi soit de loi normale. Si Y est une variable aléatoire de loi normale, et P est la fonction logistique, alors X=P(Y) est de loi logit-normale, de manière similaire, si X est de loi logit-normale, alors Y=logit(X) est de loi normale.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi logit-normale est :

f_X(x;\mu,\sigma) = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{(\operatorname{logit}(x) - \mu)^2}{2\sigma^2}} \frac{1}{x (1-x)} & \hbox{ pour }  x \in (0, 1) \\ 0 & \hbox{ sinon }\end{cases}

μ et σ sont l'espérance et l'écart-type du logit de la variable (par définition, le logit de X est de loi normale).

densités de probabilités de la loi logit-normale pour des valeurs différentes de μ (images) et σ (couleurs)

La densité obtenue en changeant le signe de μ est symétrique, c'est-à-dire f_X(x;\mu,\sigma) =f_X(1-x ; -\mu , \sigma), le nouveau mode est symétrique à l'ancien par rapport à 1/2.

Moments[modifier | modifier le code]

Les moments de la loi logit-normale n'ont pas d'expression analytique. Il est cependant possible de les estimer par des approximations d'intégrales.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]