Partie entière et partie fractionnaire

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Représentation graphique de la fonction « partie entière ».

En mathématiques et en informatique, la partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel x est l'unique entier relatif n (positif, négatif ou nul) tel que

n\le x<n+1.

On démontre son existence et son unicité par analyse-synthèse : n est le plus grand entier inférieur ou égal à x[1]. Il se note usuellement E(x), où la lettre E désigne la fonction partie entière (par défaut).

La notation [x] est aussi utilisée mais a tendance à être remplacée par la notation anglo-saxonne qui utilise des symboles similaires pour la partie entière par défaut (floor, « plancher ») et la partie entière par excès (ceiling, « plafond ») : \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor +1 et \lceil x \rceil - 1 < x \le \lceil x \rceil.

La partie entière ne doit pas être confondue avec la troncature à l'unité d'un nombre, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les nombres négatifs. Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.

La différence entre un nombre x et sa partie entière par défaut est appelée partie fractionnaire et se note {x}.

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif strictement inférieur à 1.

Tout réel x vérifie les propriétés suivantes, où ℤ est l'ensemble des entiers relatifs :

  • x = \lfloor x \rfloor + \{x\} ;
  • \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z \\ -1 & \text{sinon ;}\end{array}\right.

et pour tout entier n strictement positif :

\sum_{k = 1}^{n - 1} \left\lfloor \frac{k m}{n} \right\rfloor = \frac{(m - 1)(n - 1)}{2}.

Fonction partie entière[modifier | modifier le code]

La fonction partie entière n'est pas continue sur les valeurs entières, mais est semi-continue à droite et supérieurement.

Sa dérivée au sens des distributions est le peigne de Dirac de période 1.

Fonction partie fractionnaire[modifier | modifier le code]

Animation de la décomposition en série de Fourrier de la fonction partie fractionnaire avec un nombre croissant d'harmonique

Elle est semi-continue à gauche et supérieurement. Elle est aussi périodique de période 1 (d'après la remarque immédiate[1] : pour tout entier p, E(x + p) = E(x) + p) et admet une décomposition en série de Fourier sous la forme

\{x\} = \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi n x)}{n \pi}.

aux points x non entiers.

À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un phénomène de Gibbs sur la décomposition en série de Fourier de la fonction partie fractionnaire, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés.

Fonction partie entière par excès[modifier | modifier le code]

Aussi appelée « fonction plafond », elle peut se définir par l'expression :

\lceil x\rceil = -\mathrm \lfloor -x \rfloor.

Elle est semi-continue à gauche et inférieurement.

En outre, pour tout entier relatif k,

k = \lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil .

Exemples[modifier | modifier le code]

x Partie entière \lfloor x\rfloor par excès \lceil x\rceil Partie fractionnaire  \{ x \}
12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
2.9 2 3 0.9
−2.7 −3 −2 0.3
−2 −2 −2 0

Autres définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Dans les formules suivantes, x et y sont des nombres réels, m, n et k sont des entiers relatifs.

Les parties entière par défaut et par excès peuvent aussi être définies par les équations suivantes :

 \lfloor x \rfloor=\max\, \{m\in\mathbb{Z}\mid m\le x\},
 \lceil x \rceil=\min\,\{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}.

Puisqu'il existe un seul entier dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, pour tout réel x il existe seulement deux entiers m et n tels que :

x-1<m\le x \le n <x+1.\;

Alors on peut aussi définir la partie entière par défaut et par excès par \lfloor x \rfloor = m\;  et  \;\lceil x \rceil = n.

D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières[2]


\begin{align}
\lfloor x \rfloor = m &\;\;\Leftrightarrow &m &\le x < m+1,\\
\lceil x \rceil = n &\;\;\Leftrightarrow &n -1 &< x \le n,\\

\lfloor x \rfloor = m &\;\;\Leftrightarrow &x-1 &< m \le x,\\
\lceil x \rceil = n &\;\;\Leftrightarrow &x &\le n < x+1.
\end{align}

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Floor and ceiling functions » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal,‎ 2003 (lire en ligne), p. 113.
  2. (en) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik (en), Concrete Mathematics, Addison-Wesley,‎ 1994 (ISBN 0-201-55802-5), chap. 3.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Partie entière d'une fraction rationnelle