Loi de Holtsmark

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Loi de Holtsmark
Image illustrative de l'article Loi de Holtsmark
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
densités de lois α-stables symétriques ;
α=1,5 (courbe bleue) est la densité de la loi de Holtsmark

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Fonction de répartition
fonctions de répartition de lois α-stables symétriques ;
α=3/2 est celle de la loi de Holtsmark

Paramètres c\in ]0, \infty[paramètre d'échelle

\mu\in ]-\infty, \infty[paramètre de position

Support x\in \mathbb R
Densité de probabilité (fonction de masse) voir l'article
Espérance \mu
Médiane \mu
Mode \mu
Variance infinie
Asymétrie non définie
Kurtosis normalisé non défini
Fonction génératrice des moments non définie
Fonction caractéristique \exp\left[it\mu\!-\!|c t|^{3/2}\right]

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Holtsmark est une loi de probabilité à densité. La loi de Holtsmark est un cas particulier de loi stable avec un indice de stabilité \alpha égal à 3/2 et avec un paramètre d'asymétrie nul : \beta=0. Puisque \beta est nul, la loi est symétrique et ainsi est un exemple de loi stable symétrique. La loi de Holtsmark est une des quelques lois stables pour lesquelles une forme explicite de la densité de probabilité est connue. Cette expression de la densité utilise des fonctions hypergéométriques.

La loi de Holtsmark est utilisée dans la physique des plasmas et en astrophysique[1]. En 1919, le physicien norvégien Johan Peter Holtsmark propose cette loi comme modèle pour la fluctuation des champs de plasma dus au mouvement chaotique des particules[2]. Elle s'applique également pour d'autres types de forces de Coulomb, en particulier pour modéliser la gravitation des corps, ceci montre son importance en astrophysique[3],[4].

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

La fonction caractéristique d'une loi stable symétrique est :

\varphi(t;\mu,c) = \exp\left[it\mu\!-\!|c t|^\alpha\right],

\alpha est un paramètre de forme, ou indice de stabilité, \mu est un paramètre de position, et c est un paramètre d'échelle.

Puisque la loi de Holtsmark est telle que \alpha=3/2, sa fonction caractéristique est donnée par[5] :

\varphi(t;\mu,c) = \exp\left[it\mu\!-\!|c t|^{3/2}\right] .

La loi de Holtsmark est une loi stable avec \alpha>1 et \mu est sa moyenne[6],[7]. Puisque \beta=0, \mu est également sa médiane et son mode. Le fait que \alpha<2 assure que la variance est infinie[6]. Tous les autres moments d'ordre supérieur sont également inifnis[6]. Comme d'autres lois stables autres que la loi normale, une variance infinie indique que la dispersion de la loi est donnée par le paramètre d'échelle c. La dispersion de la loi peut également être décrite par les moments fractionnels[6].

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

En général la densité de probabilité f d'une loi de probabilité continue peut être obtenue à partir de la fonction caractéristique par la formule :

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \varphi(t)e^{-ixt}\,dt .

La plupart des lois stables n'ont pas de forme explicite pour leur densité de probabilité. Seulement la loi normale, la loi de Cauchy et les lois de Lévy en ont en termes de fonctions élémentaires[1]. La loi de Holtsmark est l'une des deux lois stables symétrique qui ont une densité explicite à l'aide des fonctions hypergéométriques[1]. Lorsque \mu=0 et c=1, la densité de probabilité de la loi de Holtsmark est donnée par :

\begin{align}
f(x; 0, 1)&= { 1 \over \pi } {\Gamma(5/3)} {}_2F_3(5/12,11/12;1/3,1/2,5/6;-4x^6/729) \\
& {} \quad{} - { x^2 \over 3\pi } {}_3F_4(3/4,1,5/4;2/3,5/6,7/6,4/3;-4x^6/729) \\
& {} \quad{} + { 7x^4 \over 81\pi } {\Gamma(4/3)} {}_2F_3(13/12,19/12;7/6,3/2,5/3;-4x^6/729) ,
\end{align}

\Gamma est la fonction gamma et  \;_mF_n est une fonction hypergéométrique[1].

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d Lee, W. H., Continuous and Discrete Properties of Stochastic Processes, University of Nottingham,‎ 2010, 37–39 p. (lire en ligne)
  2. J. Holtsmark, « Uber die Verbreiterung von Spektrallinien », Annalen der Physik, vol. 363, no 7,‎ 1919, p. 577–630 (DOI 10.1002/andp.19193630702, Bibcode 1919AnP...363..577H)
  3. S. Chandrasekhar, « The Statistics of the Gravitational Field Arising from a Random Distribution of Stars. I. The Speed of Fluctuations », The Astrophysical Journal, vol. 95,‎ 1942, p. 489 (ISSN 0004-637X, DOI 10.1086/144420, Bibcode 1942ApJ....95..489C, lire en ligne)
  4. S. Chandrasekhar, « Stochastic Problems in Physics and Astronomy », Reviews of Modern Physics, vol. 15, no 1,‎ 1943-01-01, p. 1 (DOI 10.1103/RevModPhys.15.1, Bibcode 1943RvMP...15....1C, lire en ligne)
  5. Zolotarev, V. M., One-Dimensional Stable Distributions, Providence, RI, American Mathematical Society,‎ 1986, 1, 41 p. (ISBN 978-0-8218-4519-6, lire en ligne)
  6. a, b, c et d Nolan, J. P., Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data,‎ 2008, 3, 15–16 p. (lire en ligne), « Basic Properties of Univariate Stable Distributions »
  7. Nolan, J. P., Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance, Amsterdam, Elsevier,‎ 2003, 111–112 p. (ISBN 978-0-444-50896-6), « Modeling Financial Data »