Équivalence logique

En logique classique, deux propositions P et Q sont dites logiquement équivalentes ou simplement équivalentes quand elles ont même valeur logique, il est possible de déduire Q à partir de P et de déduire P à partir de Q. En logique classique, cela revient à dire que P et Q ont même valeur de vérité : P et Q sont soit toutes les deux vraies, soient toutes les deux fausses.

La relation d'équivalence logique entre propositions est étroitement liée au connecteur d’équivalence, souvent noté ⇔ ou ↔, qui peut être défini (de façon très générale, aussi bien en logique classique que par exemple en logique intuitionniste) comme la conjonction de l'implication P ⇒ Q et de sa réciproque Q ⇒ P, soit (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

L'affirmation que P ⇔ Q revient à dire que P et Q sont équivalentes. Dit autrement (en logique classique) la proposition P ⇔ Q prend la valeur « vraie » quand P et Q sont logiquement équivalentes, et seulement dans ce cas. En logique la relation d'équivalence est parfois notée ≡ (la notation ⇔ ou ↔ étant réservée au connecteur).

L'équivalence dans la langue mathématique

Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositions P et Q sont équivalentes par :

• P si et seulement si Q (parfois abrégé en P ssi Q, (en) iff) ;
• Pour que P, il faut et il suffit que Q ;
• Une condition nécessaire et suffisante pour P est Q ;
• P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ;
• P équivaut à Q.

Calcul propositionnel

En logique classique, qui n'a que deux valeurs de vérité, la table de vérité du connecteur d'équivalence est :

P	Q	P ⇔ Q
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Faux	Faux	Vrai

La proposition P ⇔ Q équivaut à

• (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P implique Q) et (Q implique P)) ;
• (P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ((P implique Q) et la contraposée de (Q implique P)) ;
• ¬P ⇔ ¬Q (équivalence contraposée) ;
• (P ∧ Q) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ((P et Q) ou (non P et non Q)) ;

Propriétés

La relation d'équivalence logique, notée ≡ ci-dessous, est une relation d'équivalence soit :

• P ≡ P (la relation équivalence est réflexive)
• Si P ≡ Q, alors Q ≡ P (la relation d'équivalence est symétrique)
• Si P ≡ Q et Q ≡ R, alors P ≡ R (la relation d'équivalence est transitive)

Cette relation d'équivalence est compatible avec les connecteurs logiques. De plus en logique classique :

• ¬¬P ≡ P.

Exemples

• On a

$\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \{1\}, (x+1)^n=(x-1)^n\Leftrightarrow \frac{(x+1)^n}{(x-1)^n}=1$

• L’équivalence ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x²=y²) (en élevant au carré) est fausse parce que par exemple 2²=(-2)² n’implique pas 2=-2
• L’équivalence suivante est vraie

$\forall x\in [-1, +\infty[, x-1\geq \sqrt{x+1} \Leftrightarrow ((x-1)^2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)$ (en élevant au carré)

En élevant au carré, on perd l’information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l’équivalence, on rajoute la propriété x-1≥0.

Pour démontrer, une équivalence P ⇔ Q, on peut démontrer l’implication P ⇒ Q et sa réciproque Q ⇒ P.

Équivalence entre plusieurs propositions

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les 3 équivalences P ⇔ Q, Q ⇔ R et P ⇔ R, il suffit de démontrer 2 d'entre elles, ou encore il suffit de démontrer les 3 implications :

P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P.

Soient les implications P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P établies.

De Q ⇒ R et R ⇒ P on déduit Q ⇒ P.

De R ⇒ P et P ⇒ Q on déduit R ⇒ Q.

De P ⇒ Q et Q ⇒ R on déduit P ⇒ R

On peut généraliser à n propositions P₁, P₂, … , P_n : pour démontrer que ces propositions sont équivalentes il suffit de démontrer les implications

P₁ ⇒ P₂, P₂ ⇒ P₃… P_n-1 ⇒ P_n et P_n ⇒ P₁.