Fonction bêta

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En mathématiques, la fonction bêta est un type d'intégrale d'Euler définie pour tous complexes x et y par

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$ si $\textrm{Re}(x)>0 \,$ et $\textrm{Re}(y) > 0.\,$.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction Gamma d'Euler

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée

Propriétés

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 - t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

$\mathrm{\Beta}(x,y)=\mathrm{\Beta}(y,x)\,$.

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

$\mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,$

$\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,$

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

$\mathrm{\Beta}(x,y+1)={y \over x+y} \mathrm{\Beta}(x,y),$

$\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}, \!$

$\Beta (x,x) = 2^{1 - 2 x} B (\frac{1}{2}, x). \!$

Elle est liée à la fonction gamma par la relation suivante :

$\mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

Démonstration

$\mathrm{\Gamma}(x)\mathrm{\Gamma}(y)=\int_{t=0}^\infty t^{x-1}e^{-t}dt\int_{u=0}^\infty u^{y-1}e^{-u}du$

Soit le changement de variables $t=pq,~u=p(1-q)$, dont le jacobien en valeur absolue vaut $p$. Alors, par le théorème de Fubini,

$\mathrm{\Gamma}(x)\mathrm{\Gamma}(y)=\int_{p=0}^\infty p^{x+y-1}e^{-p}dp\int_{q=0}^1 q^{x-1}(1-q)^{y-1}dq=\mathrm{\Gamma}(x+y)\mathrm{\Beta}(x,y)~.$

Fonction bêta incomplète

La fonction bêta incomplète est définie par

$\Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!$

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

$I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!$

Si a et b sont des entiers, des intégrations par parties conduisent à l'expression suivante de la fonction bêta incomplète régularisée:

$I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.$