Fonction bêta

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Variations de la fonction Bêta pour les valeurs positives de x et y

En mathématiques, la fonction bêta est un type d'intégrale d'Euler définie pour tous nombres complexes x et y de parties réelles strictement positives par :

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm dt.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction Gamma d'Euler.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 - t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

\mathrm{\Beta}(x,y)=\mathrm{\Beta}(y,x).

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

 \mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}(\theta)\cos^{2y-1}(\theta)\mathrm d\theta,
 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\mathrm dt.

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

\mathrm{\Beta}(x,y+1)={y \over x+y} \mathrm{\Beta}(x,y),

 \Beta(x,y)~\Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!

 \Beta (x,x) = 2^{1 - 2 x} B\left(\frac12,x\right).
\!

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante :

 \mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : \frac{x+y}{xy\Beta(x,y)}=\frac{(x+y)!}{x!~y!}={x+y\choose x}.

Si x et y sont deux rationnels et si ni x, ni y, ni x + y ne sont entiers, alors B(x, y) est un nombre transcendant[1].

Dérivation[modifier | modifier le code]

Nous avons:

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),

\ \psi(x) est la fonction digamma.

Fonction bêta incomplète[modifier | modifier le code]

La fonction bêta incomplète est définie par :

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\mathrm dt

et vérifie[2] :

\Beta(x;\,a+1,b)+\Beta(x;\,a,b+1)=\Beta(x;\,a,b)\quad{\rm et}\quad x^a(1-x)^b=a\Beta(x;\,a,b+1)-b\Beta(x;\,a+1,b).

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}.

Les relations précédentes deviennent ainsi

aI_x(a+1,b)+bI_x(a,b+1)=(a+b)I_x(a,b)[3],\quad I_x(a,b+1)-I_x(a+1,b)=x^a(1-x)^b\frac{a+b}{ab\Beta(a,b)}.

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale[3] : I_p(a,n-a+1)=\sum_{j=a}^n{n\choose j}p^j(1-p)^{n-j}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Theodor Schneider, « Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale », J. reine angew. Math., vol. 183,‎ 1941, p. 110-128 (lire en ligne)
  2. (en) M. Aslam Chaudhry et Syed M. Zubair, On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications, CRC Press,‎ 2001 (ISBN 978-1-58488143-8, lire en ligne), p. 218.
  3. a et b (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.6.