Formule du binôme de Newton

La formule de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

Énoncé

Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx) et un entier naturel n, alors

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$,

où les nombres

${n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

(parfois aussi notés $C_n^k$) sont les coefficients binomiaux, et où $x^0$ désigne l'élément unité de l'anneau.

Remplacer dans la formule y par -y revient à prendre l'opposé du second terme :

$(x-y)^n=\Big(x+(-y)\Big)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k$

Exemples :

$\begin{array}{lcl} n=2,& (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2\\ n=3,& (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\ n=4,& (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\\ n=7,& (x + y)^7 &= x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7\\ \ldots\\ n=10,& (x + y)^{10} &= x^{10}+10x^9y+45x^8y^2+120x^7y^3+210x^6y^4+252x^5y^5+210x^4y^6+120x^3y^7+45x^2y^8+10xy^9+y^{10}\\ \\ n=2,& (x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2\\ n=3,& (x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\\ \end{array}$

Les formules pour la soustraction sont les mêmes que celles de l'addition, il faut juste alterner les signes en mettant un moins devant chaque terme qui est en position paire

De même, dans l'anneau des matrices carrées d'ordre p, on aura $(A+I_p)^4=A^4+4A^3+6A^2+4A+I_p$.

Démonstration par récurrence

Pour n=0 on a bien :

$(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0$.

Pour n entier supérieur ou égal à 1, démontrons la formule de l'énoncé par récurrence.

Initialisation

Pour n=1 on a bien :

$(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1$.

Caractère héréditaire

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 :

Par hypothèse de récurrence :

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,$

Par distributivité de $\cdot$ sur $+$ :

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}$

Par factorisation :

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}$

En utilisant la formule du triangle de Pascal :

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}$

$(x+y)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}$

Ce qui termine la démonstration.

Variantes de la démonstration

Une ébauche de preuve beaucoup plus intuitive utilise le fait que le coefficient binomial ${n \choose k}$ est le nombre de parties à $k$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments.

On peut en illustrer le principe sur le développement de $(x + y)^3$
L'astuce est de développer en omettant la commutativité de la multiplication :

$(x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y)$

$(x + y)^3 = (xx + xy + yx + yy)(x+y)$

$(x + y)^3 = (xxx + xyx + yxx + yyx + xxy + xyy + yxy + yyy)$

On fait ainsi apparaitre 3 types de termes :

• Avec 3 $y$ (ou 0 $x$): $(yyy)$,
• Avec 2 $y$ (ou 1 $x$): $(yyx)$, $(xyy)$, $(yxy)$
• Avec 1 $y$ (ou 2 $x$): $(xyx)$, $(yxx)$, $(xxy)$
• Avec 0 $y$ (ou 3 $x$): $(xxx)$

On a donc autant de termes qui présentent 0 $y$ que de parties à 0 éléments parmi un ensemble à 3 éléments. Il y a donc $\binom{3}{0}$ termes avec un $y$. De même, il y a $\binom{3}{1}$ termes avec 1 $y$ etc..(Le raisonnement avec les x est équivalent)

$(x + y)^3$ s'écrit donc : $\binom{3}{0}y^0x^3 + \binom{3}{1}y^1x^2 + \binom{3}{2}y^2x^1 + \binom{3}{3}y^3x^0$
La généralisation : $(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}y^{k}x^{n-k}$ découle d'un raisonnement analogue : quand on développe l'expression

$(x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots(x+y)\qquad (n \text{ fois,})$

on obtient une somme de monômes de la forme $x^p y^q$ où $p$ et $q$ représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi $x$ ou $y$ en développant. On a forcément $p+q=n$, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas $x$, on choisit $y$. Enfin, comme il y a ${n \choose k}$ manières différentes de choisir $k$ fois la valeur $x$ parmi les $n$ expressions $(x+y)$ multipliées ci-dessus, le monôme $x^ky^{n-k}$ doit apparaître dans le développement avec le coefficient ${n \choose k}$.

Cette preuve peut se formaliser en utilisant les polynômes symétriques.

Détails

On considère le polynôme unitaire $P(X) = (X-y)^n$ de racines d'ordre $n$, $y$. On cherche la suite des coefficients $\scriptstyle(a_k)_{0\leq k\leq n}$ de $P.$

Pour $\scriptstyle1\leq k\leq n$, on désigne par $S_k$ l'ensemble des applications strictement croissantes de $\scriptstyle\{1,\ldots,k\}$ dans $\scriptstyle\{1,\ldots,n\}.$ Le $k$-ième polynôme symétrique élémentaire à $n$ indéterminées est défini par :

$\displaystyle \sigma_{k}(X_{1},\ldots,\, X_{n})=\sum_{s\in S_{k}}\prod_{i=1}^{k}X_{s(i)}$

D'après les relations entre coefficients et racines :

$\forall k\in[1,\,n],~(-1)^k\sigma_k(y,\ldots,\,y)=a_{n-k}.$

Or

$\sigma_k(y,\ldots,\,y) = \displaystyle \sum_{s\in S_{k}}y^k\quad\text{et}\quad|S_k| = \binom{n}{k}$

(pour montrer la seconde formule, il suffit de remarquer qu'une application strictement croissante de $\scriptstyle\left\{ 1,\ldots,\, k\right\}$ dans $\scriptstyle\left\{ 1,\ldots,\, n\right\}$ est déterminée de façon unique par son image, qui est un ensemble arbitraire de $k$ éléments de $\scriptstyle\left\{ 1,\ldots,\, n\right\}$),

d'où

$\sigma_k(y,\ldots,\,y)=\binom nky^k.$

Enfin,

$a_{n-k}=(-1)^k\binom nky^k,$

d'où

$(X-y)^n=\sum^n_{k=0}(-1)^k\binom nkX^{n-k}y^k.$

On peut également déduire la formule du binôme de la formule de Leibniz, en appliquant cette dernière au produit $\exp(ax).\exp(bx)$.

Généralisations

Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de plus de deux termes (voir l'article Formule du multinôme de Newton) et à des exposants non entiers (voir l'article Formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article Formule du binôme négatif).

Références littéraires

Le professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton.

Voir aussi

• Formule du trinôme de Newton
• Théorème binomial d'Abel