Formule du binôme de Newton

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La formule de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton[1] pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices carrées de même taille, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx — par exemple pour des matrices : y = la matrice identité) et un entier naturel n, alors

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,

où les nombres {n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} (parfois aussi notés C_n^k) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle et x0 l'élément unité de l'anneau.

En rempaçant dans la formule y par y, on obtient : (x-y)^n=\Big(x+(-y)\Big)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k.

Exemples :

\begin{array}{lclcl}
n=2,& (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2,&(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2,\\
n=3,& (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3,&(x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3,\\
n=4,& (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4,&&\\
n=7,& (x + y)^7 &= x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7.&&
\end{array}

Démonstration par récurrence[modifier | modifier le code]

Pour n = 0 on a bien :

(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0.

Pour n entier supérieur ou égal à 1, démontrons la formule de l'énoncé par récurrence.

Initialisation[modifier | modifier le code]

Pour n = 1 on a bien :

(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1 .

Caractère héréditaire[modifier | modifier le code]

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 :

Par hypothèse de récurrence :

(x+y)^{n+1}=(x+y)~\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k.

Par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x~\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k 
+y~\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k
+ y^{n+1}.

Par factorisation :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {n\choose k} + {n\choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^k+ y^{n+1}.

En utilisant la formule du triangle de Pascal :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^k+y^{n+1}
(x+y)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^k,

ce qui termine la démonstration[2].

Variante de la démonstration[modifier | modifier le code]

Une preuve beaucoup plus intuitive[3] utilise le fait que le coefficient binomial {n \choose k} est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression

(x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots(x+y)\qquad (n \text{ fois}),

on obtient une somme de monômes de la forme xjykj et k représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément j = n – k, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas y, on choisit x. Enfin, comme il y a {n \choose k} manières différentes de choisir k fois la valeur y parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xn–kyk doit apparaître dans le développement avec le coefficient {n \choose k}.

Généralisations[modifier | modifier le code]

La démonstration par récurrence peut être calquée pour démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit (inversement, la formule du binôme peut se déduire de celle de Leibniz appliquée au produit exp(ax)exp(bx))[réf. nécessaire].

La méthode combinatoire de sa variante permet de généraliser l'identité polynomiale

(X+Y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}X^{n-k}Y^k

en

\prod_{i=1}^n(X+Y_i)=\sum_{k=0}^n\sigma_k(Y_1,\ldots,Y_n)X^{n-k},

où les σk désignent les polynômes symétriques élémentaires.

Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de plus de deux termes (voir l'article Formule du multinôme de Newton) et à des exposants non entiers (voir l'article Formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article Formule du binôme négatif).

Références littéraires[modifier | modifier le code]

Le professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En réalité, cette formule était connue dès le Xe siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Halayudha (en)), arabes et perses (Al-Karaji) et au XIIIe siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers (voir l'article formule du binôme généralisée).
  2. Démonstration par récurrence en vidéo.
  3. Binôme de Newton : Démonstration par dénombrement en vidéo
  4. Arthur Conan Doyle, Le Dernier problème, 1891

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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