Nombre normal

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Page d'aide sur l'homonymie Pour l’article homonyme, voir nombre normal (informatique) (en), i.e. nombre qui est dans un intervalle normal de format en virgule flottante

En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel tel que la fréquence d'apparition de tout n-uplet dans la suite de ses « décimales » dans toute base est équirépartie[1].

Définition[modifier | modifier le code]

Soient B un ensemble fini de cardinal b > 1, utilisé comme l'ensemble des chiffres en base b, et x un nombre réel. Si s est une suite finie d'éléments de B, notons N(s, n) le nombre d'apparitions de la suite s parmi les n premiers chiffres de x en base b. Le nombre x est dit normal en base b si

\forall k\ge 1\quad\forall s\in B^k\quad\lim_n\frac{N(s,n)}n=\frac1{b^{k}}.

Le nombre x est dit nombre normal (ou quelquefois nombre absolument normal) s'il est normal dans toute base. S'il n'est normal qu'en base b, on dit que c'est un nombre normal en base b.

Théorème du nombre normal[modifier | modifier le code]

Le concept de nombre normal fut introduit par Émile Borel en 1909[2]. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontra le théorème du nombre normal : presque tous les nombres réels sont normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue).

Théorème — Dans , presque tout nombre (au sens de la mesure de Lebesgue) est normal en toute base.

Propriétés et exemples[modifier | modifier le code]

Le théorème des nombres normaux établit l'existence des nombres normaux, mais n'en construit explicitement aucun : on parle de démonstration non constructive. Wacław Sierpiński[5] fut le premier à donner un exemple de nombre normal.

L'ensemble des nombres non normaux n'est pas dénombrable. En effet, il y a une quantité non dénombrable de réels qui ne contiennent pas le chiffre 5 dans leur développement décimal, et aucun de ceux-ci n'est normal.

Le nombre de Champernowne 0,123\, 456\, 789\, 101\, 112\, 131\, 415\, 161\, 7\dots, qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels est normal en base 10[6], mais il n'est pas démontré qu'il le soit dans les autres bases.

La constante de Copeland-Erdős 0,235\, 711\, 131\, 719\, 232\, 931\, 374 \,1\dots, obtenue en concaténant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

Un nombre peut tout à fait être normal dans une base mais pas dans une autre, par exemple

\alpha=\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{3^m2^{3^m}}}

est normal en base 2[7] mais pas en base 6[8].

Aucun nombre rationnel n'est normal dans quelque base que ce soit, puisque la suite de chiffres dans le développement des nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. Sierpiński a fourni la première construction explicite d'un nombre normal en 1917. Un nombre normal calculable fut construit par Verónica Becher et Santiago Figueira[9] ; un exemple de nombre normal non calculable est donné par la constante de Chaitin Ω.

Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité de nombres pourtant simples. Par exemple, on ne sait pas si 2, π, ln(2) ou e sont normaux (mais tous sont conjecturés comme normaux, conformément aux expériences). Nous ne savons même pas démontrer qu'un chiffre donné apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de ces constantes. David H. Bailey (en) et Richard Crandall (en) ont conjecturé en 2001[10] que tout nombre algébrique irrationnel est normal ; bien qu'aucun contre-exemple ne soit connu, on ne connait pas non plus de nombre algébrique qui soit normal dans une base.

Tout nombre normal est aussi un nombre univers (la réciproque est fausse).

Un nombre réel au développement numérique aléatoire est normal et transcendant.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal number » (voir la liste des auteurs).

  1. Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Belin,‎ 1997 [détail des éditions].
  2. É. Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 27, 1909, p. 247-271.
  3. a et b Voir (en) M. Lothaire, Combinatorics on Words, Addison–Wesley, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications »,‎ 1983 (réimpr. 1997), 260 p., pour le vocabulaire et les notations de la théorie des langages. À ce propos, les mêmes raisonnements conduisent Émile Borel, en 1913, à soulever le paradoxe du singe savant, qui a connu une certaine fortune dans l'imagination populaire : l'anecdote mise à part, il s'agit d'étudier le nombre d'occurrences d'un mot très long dans une séquence infinie de caractères aléatoires indépendants, tirés d'un alphabet A fini. Voir Émile Borel, « Mécanique Statistique et Irréversibilité », J. Phys. 5e série, vol. 3,‎ 1913, p. 189-196.
  4. Car l'intersection dénombrable d'événements de probabilités 1 est encore un événement de probabilité 1, voir la page « Inégalité de Boole ».
  5. W. Sierpiński, « Démonstration élémentaire du théorème de M. Borel sur les nombres absolument normaux et détermination effective d'un tel nombre », Bull. Soc. Math. France (en), vol. 45, 1917, p. 125-144 [lire en ligne].
  6. (en) D. G. Champernowne, « The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten », Journal of the London Mathematical Society, vol. 8, 1933, p. 254-260 .
  7. (en) David H. Bailey et Michal Misiurewicz, « A strong hot spot theorem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 134,‎ 2006, p. 2495-2501.
  8. (en) D. H. Bailey, « A non-normality result »,‎ 12 sept. 2007.
  9. (en) V. Becher et S. Figueira, « An example of a computable absolutely normal number », Theoretical Computer Science, vol. 270, 2002, p. 947-958 .
  10. (en) David H. Bailey et Richard Crandall, « On the Random Character of Fundamental Constant Expansions », Experimental Mathematics, vol. 10, 2001, p. 175-190.