Loi normale asymétrique

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Distribution normale asymétrique
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \xi \, position (réel)
\omega \, échelle (réel positif)
\alpha \, forme (asymétrie) (réel)
Support x \in (-\infty; +\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)}  e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt
Fonction de répartition \Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)
T(h,a) est la fonction T d'Owen
Espérance \xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}
Variance \omega^2\left(1 - \frac{2\delta^2}{\pi}\right)
Asymétrie \frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^3}{  \left(1-2\delta^2/\pi\right)^{3/2}}
Kurtosis normalisé 2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}
Fonction génératrice des moments \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)\Phi(\sigma\delta t)
Fonction caractéristique \exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une loi de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit \phi(x) la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}

avec sa fonction de répartition donnée par

\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle x\mapsto \frac{x-\xi}{\omega}. On peut vérifier que l'on retrouve une distribution normale lorsque \alpha = 0, et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de \alpha augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si \alpha>0 et est asymétrique vers la gauche si \alpha<0. La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

f(x) = \left(\frac{2}{\omega}\right)\phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\Phi\left(\alpha \left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\right).  \,

Estimation[modifier | modifier le code]

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour \xi, \omega, et \alpha peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si \alpha=0. Si l'on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer \alpha à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

|\delta| = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{  |\hat{\gamma}_3|^{\frac{1}{3}}  }{\sqrt{|\hat{\gamma}_3|^{\frac{2}{3}}+((4-\pi)/2)^\frac{2}{3}}}

\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}, et \hat{\gamma}_3 est l'asymétrie empirique. Le signe de \delta est le même que celui de \hat{\gamma}_3. Par conséquent, \hat{\alpha} = \delta/\sqrt{1-\delta^2}.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) A. Azzalini, « A class of distributions which includes the normal ones », Scand. J. Statist., vol. 12,‎ 1985, p. 171–178

Voir aussi[modifier | modifier le code]

normale asymétrique : un autre point de vue

Article connexe[modifier | modifier le code]

Asymétrie (statistique)

Liens externes[modifier | modifier le code]