Loi de Cantor

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Cantor
Image illustrative de l'article Loi de Cantor
Fonction de répartition

Paramètres aucun
Support ensemble de Cantor
Densité de probabilité (fonction de masse) aucune
Fonction de répartition escalier de Cantor
Espérance 1/2
Médiane tout point de \scriptstyle\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]
Variance 1/8
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -8/5
Fonction génératrice des moments e^{t/2} \prod_{i= 1}^{\infty} \cosh{\left(\frac{t}{3^{i}}\right)}
Fonction caractéristique e^{\mathrm{i}\,t/2} \prod_{i= 1}^{\infty} \cos{\left(\frac{t}{3^{i}}\right)}

En théorie des probabilités, la loi de Cantor est une loi de probabilité singulière dont le support est l'ensemble de Cantor et la fonction de répartition est l'escalier de Cantor. Comme ces derniers, le nom de la loi est issue du mathématicien allemand Georg Cantor.

Cette loi de probabilité est singulière, ainsi elle n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et donc ne possède pas de densité de probabilité ; elle ne possède pas non plus de fonction de masse. Elle est donc ni une loi de probabilité discrète, ni une loi de probabilité à densité, ni un mélange de ces dernières.

Sa fonction de répartition est parfois appelée l'escalier du diable.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Le support d'une mesure de la loi de Cantor est l'ensemble de Cantor qui est l'intersection (dénombrable infinie) des ensembles :


\begin{align}
 C_{0} = & [0,1] \\
 C_{1} = & [0,1/3]\cup[2/3,1] \\
 C_{2} = & [0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1] \\
 C_{3} = & [0,1/27]\cup[2/27,1/9]\cup[2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\cup \\
         & [2/3,19/27]\cup[20/27,7/9]\cup[8/9,25/27]\cup[26/27,1] \\
 C_{4} = & \cdots .
\end{align}

La loi de Cantor est l'unique loi de probabilité pour laquelle, sur toute union d'ensembles \scriptstyle C_t, pour \scriptstyle t\in \{0,1,2,\dots\}, la loi est uniforme sur chacun des \scriptstyle 2^t ensembles de \scriptstyle C_t :

\mathbb P(C^i_t)=2^{-t}, si \scriptstyle C_t=\cup_{i=1}^{2^t} C^{i}_t.

Cette loi de Cantor est parfois précisée : loi de Cantor sur [0,1]. Elle peut être définie de la même manière sur l'intervalle [-1,1], ce qui en fait une loi centrée.

Moments[modifier | modifier le code]

Il est aisé de remarquer, par symétrie, que l'espérence d'une variable aléatoire X de loi de Cantor est : \scriptstyle \mathbb E[X]=\frac{1}{2}. Les moments d'ordre impair sont tous nuls.

Donnons un calcul pour la variance. Pour l'ensemble \scriptstyle C_1 ci-dessus, soit \scriptstyle Y=0 si \scriptstyle X\in [0,\frac{1}{3}] et \scriptstyle Y=1 si \scriptstyle X\in [\frac{2}{3},1]. Ceci s'écrit à l'aide d'une indicatrice : \scriptstyle Y=1_{[\frac{2}{3},1]}(X). Alors :


\begin{align}
\operatorname{var}(X) & = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y)) +
                          \operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) \\
                      & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) +
                          \operatorname{var}
                            \left\{
                             \begin{matrix} 1/6 & \mbox{avec probabilité}\ 1/2 \\
                                            5/6 & \mbox{avec probabilité}\ 1/2
                             \end{matrix}
                            \right\} \\
                      & = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \frac{1}{9}.
\end{align}

De ceci, on obtient : \operatorname{var}(X)=\frac{1}{8}.

Des formules pour tout moment d'ordre pair peut être obtenu en obtenant tout d'abord les cumulants[1] :

 \kappa_{2n} = \frac{2^{2n-1} (2^{2n}-1) B_{2n}}{n\, (3^{2n}-1)},

\scriptstyle B_{2n} est le 2n-ième nombre de Bernoulli.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Kent Morrison, « Random Walks with Decreasing Steps », Department of Mathematics, California Polytechnic State University,‎ 1998-07-23 (consulté le 2007-02-16)