Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (pouvant donc être nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents[1]. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule). Ne pas confondre avec les Entier relatif.

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on utilise pour compter : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes.... Dans un second temps, l'énumération de la comptine numérique : un, deux, trois, quatre… révèle une propriété d'ordre ou ordinale de l'outillage numérique. Mais l'élève brillant peut compter longtemps, voire sans fin : la liste des entiers naturels est infinie, car chacun d'entre eux a un successeur, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur[2].

L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ».

La structure des entiers naturels a été axiomatisée pour la première fois par Peano et Dedekind à la fin du XIXe siècle. À cette époque zéro n'était pas considéré comme un entier naturel (et quelques rares auteurs font encore ce choix), ce qui ne change pas fondamentalement l'axiomatisation. Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à John Von Neumann).

L'ensemble des entiers naturels est noté « N » ou « ℕ ». La notation est due à Dedekind en 1888 ; il l'utilise pour l'ensemble des entiers naturels non nuls. Aujourd'hui celui-ci est couramment noté « N* » (ou « ℕ* »).

Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs, aux nombres rationnels positifs pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1 et plus généralement aux réels positifs de partie fractionnaire nulle.

Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes, trois pommes…).

Conception[modifier | modifier le code]

De l'énumération à l'abstraction[modifier | modifier le code]

La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVIIe siècle[3]) toute l'idée[4] de nombre, est probablement issue de la notion de collection : le nombre entier est avant tout conçu comme un cardinal. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.

Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.

Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache : il y a là une première abstraction où chaque objet est considéré comme une unité pure et sans qualité. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Une seconde abstraction mène alors à la considération de ces unités comme une collection d'unités[5].

Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme « collection d'unités[6] ».

Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Article connexe : Nombre figuré.

Définition par les cardinaux[modifier | modifier le code]

Les entiers naturels peuvent aussi être définis par abstraction sans passer par la notion d'unité, comme l'a fait Frege (Fondements de l'arithmétique, 1884). Une collection A (ou « concept » selon sa terminologie) et une collection B sont dites équinumériques si on peut définir une correspondance biunivoque entre les objets de A et les objets de B, c'est-à-dire une correspondance qui associe à tout objet de A un unique objet de B, et à tout objet de B un unique objet de A. Un nombre est alors défini par abstraction des collections équinumériques entre elles, indépendamment de la nature de ces collections. Les entiers naturels sont les cardinaux des ensembles finis.

Construction par les ordinaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Construction des entiers naturels.

Les entiers naturels peuvent être définis comme des ordinaux, c'est-à-dire, par la méthode de Von Neumann, comme des ensembles bien ordonnés tous comparables par inclusion. Les entiers naturels sont les ordinaux finis, ceux dont l'ordre réciproque est aussi un bon ordre, ou encore les ordinaux successeurs dont tous les minorants sont aussi des ordinaux successeurs.

Désignation[modifier | modifier le code]

Énonciation[modifier | modifier le code]

La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques méthodes simples.

Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers de un à dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de deux[7].

L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dans dix-sept) ou de la multiplication (comme dans quatre-vingts) des entiers correspondants. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la division ou la protraction.

Article connexe : Système de numération.

Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certaines puissances d'une base particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de la base vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million.

Article connexe : Échelles longue et courte.

Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations par accolement : « mille milliards de milliards… »

Écriture chiffrée[modifier | modifier le code]

Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations, elle est aujourd'hui presque partout fondée sur un même système de notation décimale positionnelle, même si la graphie des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes d'un pays à l'autre.

Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix, de façon à ce que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc représenté par l'un des dix chiffres arabes de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se fait alors en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de dix correspondantes.

L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des algorithmes de calcul pour les quatre opérations arithmétiques élémentaires.

Codage[modifier | modifier le code]

La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux[8] ou d'autres symboles concrets, d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).

La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et ordinateurs.

Article détaillé : Entier (informatique).

Arithmétique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Arithmétique.

Représentation des opérations[modifier | modifier le code]

En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition est représentée par la réunion de deux collections, tandis que la soustraction revient à retirer une collection d'une autre. Cette représentation montre bien l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels[9]) un nombre à un autre strictement plus petit.

La multiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage d'un rectangle dont deux côtés adjacents représentent chacun l'un des facteurs.

La division euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre (appelé diviseur et nécessairement non nul) est illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes représente alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète représente le reste, nécessairement strictement inférieur au diviseur.

Multiple et diviseur[modifier | modifier le code]

Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble de ses multiples est infini mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

Article détaillé : Divisibilité.

Nombre premier[modifier | modifier le code]

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Ensemble des entiers naturels[modifier | modifier le code]

Notations[modifier | modifier le code]

N =\mathrm{I_{\,}\!\!N}=\N=\N_0=\{0,1,2,\ldots\}\quad\text{et}\quad\N^*=\N_1=\{1,2,\ldots\}
Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.

En 1894, Giuseppe Peano utilise les notations « N » pour « nombre entier positif » et « N0 » pour « nombre entier positif ou nul » dans ses Notations de logique mathématique[10],[11] qui servent d'introduction à son grand projet de formalisation des mathématiques, le Formulaire de mathématiques. Il l'utilise comme prédicat une notion très proche de celle d'ensemble. Ainsi Peano écrit « x ε N » (qu'on écrit aujourd'hui « xN ») ce qui pour lui se lit « x est un nombre entier positif ».

La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en imprimerie devient « N », lettre capitale grasse. En écriture manuscrite (et particulièrement au tableau noir), ce caractère a été distingué de la lettre « N » utilisée pour d'autres usages par le doublement de la première barre verticale, ou de la barre oblique. Ce dernier choix a été adopté pour la police blackboard gras. L'édition mathématique moderne utilise maintenant les caractères « doublés », mais l'usage du gras typographique perdure également.

Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N0 ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.

Théorie des ensembles[modifier | modifier le code]

Le plus petit ordinal infini est la borne supérieure de tous les ordinaux finis, qui sont les entiers naturels. Il a été introduit par Georg Cantor qui l'a noté ω (lettre minuscule grecque oméga) ou ω0. John von Neumann a montré que les ordinaux pouvaient être définis de façon à identifier un ordinal à l'ensemble de ses minorants stricts, et l'ordinal ω s'identifie alors à l'ensemble des entiers naturels (un entier naturel étant lui-même identifié à l'ensemble des entiers naturels qui lui sont strictement inférieurs). En théorie des ensembles, la lettre ω est donc aussi utilisée pour désigner l'ensemble des entiers naturels. L'axiome de l'infini permet de montrer l'existence de cet ensemble.

Un ensemble dénombrable est un ensemble qui a même cardinal que l'ensemble des entiers naturels (on précise parfois « infini dénombrable », dénombrable pouvant aussi signifier « fini ou de même cardinal que N »). Le cardinal du dénombrable, celui de N, est le plus petit cardinal infini, il est noté ℵ0.

En théorie des ensembles, formellement ℵ0, se définit comme le plus petit ordinal infini dénombrable, soit ω, et donc à nouveau comme l'ensemble des entiers naturels.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les opérations d'addition et de multiplication étant associatives, commutatives, munies de neutres et satisfaisant une propriété de distributivité, l'ensemble des entiers naturels est un semi-anneau.

Il est ordonné pour la relation d'ordre usuelle induite par l'addition, qui lui donne une structure de bon ordre, c'est-à-dire que toute partie non vide admet un plus petit élément. Cette propriété est à la base du raisonnement par récurrence.

L'ensemble est également muni de la relation de divisibilité qui est un ordre partiel.

Son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini, noté ℵ0 (aleph zéro), définissant ainsi la notion de dénombrabilité. En effet, on dit d'un ensemble quelconque qu'il est dénombrable s'il existe une bijection de cet ensemble dans celui des entiers naturels. On se contente parfois d'une injection pour englober aussi les ensembles finis.

Axiomatique de Peano[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Axiomes de Peano.

Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique. Richard Dedekind et Giuseppe Peano en ont proposé indépendamment des axiomatisations qui étaient essentiellement équivalentes. Il s'agissait d'axiomatisation que l'on dit parfois aujourd'hui du second ordre : la notion d'ensemble (ou de prédicat) est supposée connue et n'est pas prise en compte par l'axiomatisation. Voici une présentation moderne de ces axiomes (dits axiomes de Peano) :

  1. l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel[12].
  2. Tout entier naturel n a un unique successeur, souvent noté s(n) ou S n (ou autres variantes).
  3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
  4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
  5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

Le premier axiome permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide, le second que le successeur est une fonction, le quatrième que cette fonction est injective, le troisième qu'il possède un premier élément (ces deux axiomes assurent que l'ensemble des entiers naturels est infini). Le cinquième est une formulation du principe de récurrence.

Une propriété importante, démontrée par Richard Dedekind à partir de ces axiomes, est le principe de définition par récurrence. Il permet par exemple de définir les opérations usuelles.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Les nombres entiers positifs permettent de compter des objets analogues ou similaires : des petits cailloux ou des jetons nommés calculi (en latin), des boules manipulés sur le boulier, des allumettes, des boutons, des assiettes sur une table, des pages d'un cahier ou d'un livre, des pommes, des arbres, des minutes, des votes à main levée...Le zéro est apparu dans une numérotation de base 10, connue en Inde au VIIe siècle grâce au mathématicien Brahmagupta, mais diffusée seulement en Europe par le Liber abaci de Leonardo Fibonacci. Il se nommait sifer en arabe, qui a aussi donné le terme chiffre en français. Nombre en anglais se dit digit, c'est-à-dire doigt. Le comptage en base 6 pouvait se faire à l'origine avec les doigts, le pouce et la main refermée.
  2. Georg Cantor est le premier mathématicien à avoir étudié les différents infinis, il s'est appuyé sur l'ensemble ordonné des entiers naturels pour définir une première base d'infini et ensuite mieux découvrir les autres ensembles infinis.
  3. Christian Houzel, « Qu'est-ce qu'un nombre ? », Histoire des nombres, Tallandier 2007.
  4. Des nombres non entiers sont manipulés dès le IIIe millénaire avant notre ère dans la civilisation mésopotamienne, mais ils n'ont pas le statut théorique de nombre.
  5. La construction philosophique du concept de nombre est exposée en détail dans De l'infini mathématique de Louis Couturat
  6. Cette définition peut rétrospectivement être appliquée au nombre zéro, une collection ne comprenant aucune unité.
  7. Georges Ifrah, introduction à Histoire universelle des chiffres, tome 1, édition Robert Laffont (1994), p. 9, § Les premiers tâtonnements.
  8. Le mot « calcul » est apparenté au mot « caillou ».
  9. La soustraction est toujours possible dans les entiers relatifs.
  10. Giuseppe Peano (1894), Notations de logique mathématique, Guadagnini, Turin (1894), p. 4 lire en ligne
  11. (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations [détail des éditions] vol. 2 p. 299.
  12. Peano utilise en fait 1 (un), ce qui correspond aux usages de l'époque mais ne change rien fondamentalement

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Peter J. Bentley, Livre des nombres, leur histoire et leurs secrets, des origines à nos jours, Eyrolles, Paris, 2009, 272 pages, ISBN 978-2-212-54226-4. Traduction par Anne-Marie Terel et Laurence Nicolaïeff du livre The Book of Numbers, Cassel Illustrated, London, 2008.
  • Pierre Damphousse, L'arithmétique ou l'art de compter, Le Pommier, 2002.
  • Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Éditions Seghers, Paris, Lausanne, 1981, 567 pages, ISBN 2-221-50205-1
  • Benoît Rittaud, Qu'est ce qu'un nombre ?, Les Petites Pommes du Savoir, éditions le Pommier, Paris, 2011, 64 pages. ISBN 978-2-7465-0565-0

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Nombres : curiosités, théorie et usages, site de G. Villemin