Loi de Gauss-Kuzmin

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Loi Gauss-Kuzmin
Support k \in \{1,2,\dots\}
Densité de probabilité (fonction de masse) -\log_2\left[ 1-\frac{1}{(k+1)^2}\right]
Fonction de répartition 1 - \log_2\left(\frac{k+2}{k+1}\right)
Espérance +\infty
Médiane 2\,
Mode 1\,
Variance +\infty
Asymétrie (non définie)
Kurtosis normalisé (non défini)
Entropie 3.4325275[1],[2]...

En théorie des probabilités, la loi de Gauss-Kuzmin est une loi de probabilité discrète à support infini qui apparait comme loi de probabilité asymptotique des coefficients dans le développement en fraction continue d'une variable aléatoire uniforme sur ]0,1[[3]. Le nom provient de Carl Friedrich Gauss qui considéra cette loi en 1800[4], et de Rodion Kuzmin (en) qui donna une borne pour la vitesse de convergence en 1929[5],[6] par l'intermédiaire de la fonction de masse :

 p(k) := \mathbb P(X=k) = - \log_2 \left( 1 - \frac{1}{(1+k)^2}\right)~.

Théorème de Gauss-Kuzmin[modifier | modifier le code]

Soit U une variable aléatoire uniforme sur ]0,1[ et

 U = \frac{1}{k_1 + \frac{1}{k_2 + \cdots}}

son développement en fraction continue. Alors

 \lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left\{ k_n = k \right\} = - \log_2\left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)~.

Ou de manière équivalente, en notant  U_n = 1/(k_{n+1} + 1/(k_{n+2} + \cdots))~; alors

 \Delta_n(s) := \mathbb{P} \left\{ U_n \leq s \right\} - \log_2(1+s)

converge vers 0 quand n tend vers l'infini.

Vitesse de convergence[modifier | modifier le code]

En 1928, Kuzmin donne la borne

 |\Delta_n(s)| \leq C \exp(-\alpha \sqrt{n})~.

En 1929, Paul Lévy[7] l'améliore en majorant

 |\Delta_n(s)| \leq C \, 0.7^n~.

Plus tard, Eduard Wirsing montre[8] que pour \lambda=0.30366... (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing), la limite

 \Psi(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{\Delta_n(s)}{(-\lambda)^n}

existe pour tout s\in [0,1], et la fonction \Psi est analytique et satisfait \Psi(0)=\Psi(1)=0. D'autres bornes ont été établies par K.I.Babenko[9].

Article connexe[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. Blachman, « The continued fraction as an information source (Corresp.) », IEEE Transactions on Information Theory, vol. 30, no 4,‎ 1984, p. 671–674 (lien DOI?)
  2. (en) P. Kornerup et D. Matula, « LCF: A lexicographic binary representation of the rationals », Journal of Universal Computer Science, vol. 1,‎ juillet 1995, p. 484–503
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss–Kuzmin Distribution », MathWorld
  4. (en) C.F. Gauss, Werke Sammlung, vol. 10/1 (lire en ligne), p. 552–556
  5. (en) R.O. Kuzmin, « On a problem of Gauss », DAN SSSR,‎ 1928, p. 375–380
  6. (en) R.O. Kuzmin, « On a problem of Gauss », Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, vol. 6,‎ 1932, p. 83–89
  7. P. Lévy, « Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 57,‎ 1929, p. 178–194 (lire en ligne)
  8. (en) E. Wirsing, « On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces », Acta Arithmetica, vol. 24,‎ 1974, p. 507–528
  9. (en) K.I. Babenko, « On a problem of Gauss », Soviet Math. Dokl., vol. 19,‎ 1978, p. 136–140