Loi du demi-cercle

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Loi du demi-cercle
Image illustrative de l'article Loi du demi-cercle
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres R>0, rayon
Support x \in [-R;+R]\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac2{\pi R^2}\,\sqrt{R^2-x^2}\!
Fonction de répartition \frac12+\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} + \frac{\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)}{\pi}\!
Espérance 0\,
Médiane 0\,
Mode 0\,
Variance \frac{R^2}{4}\!
Asymétrie 0\,
Kurtosis normalisé -1\,
Entropie \ln (\pi R) - \frac12 \,
Fonction génératrice des moments 2\,\frac{I_1(R\,t)}{R\,t}
Fonction caractéristique 2\,\frac{J_1(R\,t)}{R\,t}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du demi-cercle ou loi du demi-cercle de Wigner est une loi de probabilité sur l'intervalle [-R,R] et dont le graphe de la densité de probabilité est un demi-cercle de rayon R, centré en 0 et convenablement renormalisé, ce qui en fait, en fait, une ellipse. Cette loi est nommée d'après le physicien Eugene Wigner.

En théorie des nombres, la loi du demi-cercle est parfois appelée loi de Satō-Tate, voir la conjecture de Satō-Tate.

Cette loi apparait comme la loi limite des valeurs propres de beaucoup de matrices aléatoires quand la taille de la matrice tend vers l'infini.

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi du demi-cercle est :

f(x)=\begin{cases}\displaystyle {2 \over \pi R^2}\sqrt{R^2-x^2\,}& \hbox{ pour } -R<x<R,\\ 0. &\hbox{ sinon.}\end{cases}

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi du demi-cercle est :

F(x)=\begin{cases}0 & \hbox{ pour } x<-R, \\ \displaystyle\frac12+\frac{x\sqrt{R^2-x^2}}{\pi R^2} + \frac{\arcsin\!\left(\frac{x}{R}\right)}{\pi} & \hbox{ pour } -R<x<R, \\ 1 & \hbox{ pour }x>R.\end{cases}

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n, le 2n-ième moment de la loi du demi-cercle est

E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n} C_n\,

C_n est le n-ième nombre de Catalan :

C_n={1 \over n+1}{2n \choose n} .

Ainsi les moments de la loi du demi-cercle sont les nombres de Catalan si R=2. Par la propriété de symétrie, les moments d'ordre impair sont nuls.

Fonction génératrice[modifier | modifier le code]

En faisant la substitution x=R\cos(\theta) dans la définition de la fonction génératrice des moments, on obtient :

M(t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^{Rt\cos(\theta)}\sin^2(\theta)\,d\theta.

Cette équation peut être résolue (voir Abramowitz et Stegun §9.6.18) :

M(t)=2\,\frac{I_1(Rt)}{Rt}

I_1(z) est la fonction de Bessel modifiée.

Fonction caractéristique[modifier | modifier le code]

De manière similaire, la fonction caractéristique est donnée par :

\varphi(t)=2\,\frac{J_1(Rt)}{Rt}

J_1(z) est la fonction de Bessel. (voir Abramowitz et Stegun §9.1.20).

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Lorsque R tend vers 0, la loi du demi-cercle converge vers la distribution de Dirac.
  • La loi du demi-cercle est un cas particulier de la loi bêta renormalisée. Plus précisément, si Y est de loi bêta de paramètres \alpha=\beta=\frac{3}{2}, alors R(2Y-1) suit la loi du demi-cercle.
  • La loi du demi-cercle est la limite de la loi Kesten-McKay lorsque son paramètre d tend vers l'infini.

Références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]