Loi bêta

Beta
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Fonction de répartition
Paramètres	$\alpha > 0$ forme (réel) $\beta > 0$ forme (réel)
Support	$x \in [0; 1]\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Fonction de répartition	$I_x(\alpha,\beta)\!$
Espérance	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Mode	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ pour $\alpha>1, \beta>1$
Variance	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
Asymétrie	$2\,\frac{(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Kurtosis normalisé	$6\,\tfrac{(\beta-\alpha)^2 (\alpha+\beta+1) - \alpha \beta (\alpha+\beta+2)}{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!$
Fonction génératrice des moments	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
Fonction caractéristique	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0,1], paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.

Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT.

Caractérisation

Fonction de densité

La densité de probabilité de la loi bêta est :

$f(x;\alpha,\beta) = \begin{cases}\displaystyle \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} & \hbox{ pour }x\in[0,1]\\0 & \hbox{ sinon }\end{cases}$

$= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\; 1\!\!1_{[0,1]}(x)$

$= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\;1\!\!1_{[0,1]}(x)$

où $\Gamma$ est la fonction gamma et $1\!\!1_{[0,1]}$ est la fonction caractéristique de [0,1]. La fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition

La fonction de répartition est

$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$

où $\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)$ est la fonction bêta incomplète et $I_x(\alpha,\beta)$ est la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Moments

Voir infobox.

Formes

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

• $\alpha < 1,\ \beta < 1$ est en forme de U (graphe rouge);
• $\alpha < 1,\ \beta \geq 1$ ou $\alpha = 1,\ \beta > 1$ est strictement décroissant (graphe bleu);
  • $\alpha = 1,\ \beta > 2$ est strictement convexe;
  • $\alpha = 1,\ \beta = 2$ est une droite;
  • $\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ est strictement concave;
• $\alpha = 1,\ \beta = 1$ est la loi uniforme continue;
• $\alpha = 1,\ \beta < 1$ ou $\alpha > 1,\ \beta \leq 1$ est strictement croissant (graphe vert);
  • $\alpha > 2,\ \beta = 1$ est strictement convexe;
  • $\alpha = 2,\ \beta = 1$ est une droite;
  • $1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ est strictement concave;
• $\alpha > 1,\ \beta > 1$ est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si $\alpha = \beta$ alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

Généralisations

La loi bêta peut se généraliser en :

• la loi bêta décentrée en introduisant un paramètre λ qui décale la moyenne,
• la loi bêta rectangulaire en "mélangeant" une loi bêta et une loi uniforme continue,
• la loi bêta prime en étendant son support en]0,∞[.

Estimation des paramètres

Soit la moyenne empirique

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

et

$v = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2$

la variance. La méthode des moments fournit les estimations suivantes:

$\alpha = \bar{x} \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right),$

$\beta = (1-\bar{x}) \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right).$

Distributions associées

• Si $X$ a une distribution bêta, alors la variable aléatoire $T = \frac{X}{1-X}$ est distribuée selon la loi bêta prime ;
• La loi bêta-binomiale est la loi conjuguée de la loi bêta ;
• La loi $\mathrm{Beta}(1,1)$ est identique à la Loi uniforme continue ;
• Si $X$ et $Y$ sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres $(\alpha, \theta)$ et $(\beta, \theta)$ respectivement, alors la variable aléatoire $\frac{X}{X+Y}$ est distribuée selon une loi $\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$ ;
• Si $X \sim {\rm U}(0; 1)\,$ selon une loi uniforme, alors $X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \$ ;
• La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes $\ {\rm U}(0, 1]\,$ suit la loi ${\rm Beta}(k,n-k+1) \$.
• La loi $Beta( 1/2, 1/2 )$ est appelée Loi de l'Arc sinus

Liens externes

• (en) Beta Distribution par Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project, 2007
• (en) Beta Distribution – Overview and Example, xycoon.com
• (en) Beta Distribution, brighton-webs.co.uk

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Beta distribution » (voir la liste des auteurs)