Loi bêta

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Beta
Image illustrative de l'article Loi bêta
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \alpha > 0 forme (réel)
\beta > 0 forme (réel)
Support x \in [0; 1]\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
Fonction de répartition I_x(\alpha,\beta)\!
Espérance \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
Mode \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! pour \alpha>1, \beta>1
Variance \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
Asymétrie 2\,\frac{(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
Kurtosis normalisé 6\,\tfrac{(\beta-\alpha)^2 (\alpha+\beta+1) - \alpha \beta (\alpha+\beta+2)}{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}\!
Fonction génératrice des moments 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
Fonction caractéristique {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0,1], paramétrée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la loi de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.

Admettant une grande variété de formes, elle permet de modéliser de nombreuses distributions à support fini. Elle est par exemple utilisée dans la méthode PERT.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Fonction de densité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi bêta est :

 f(x;\alpha,\beta) = \begin{cases}\displaystyle \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du}  & \hbox{ pour }x\in[0,1]\\0 & \hbox{ sinon }\end{cases}
= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\; 1\!\!1_{[0,1]}(x)
= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\;1\!\!1_{[0,1]}(x)

\Gamma est la fonction gamma et 1\!\!1_{[0,1]} est la fonction caractéristique de [0,1]. La fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition est

F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!

\mathrm{B}_x(\alpha,\beta) est la fonction bêta incomplète et I_x(\alpha,\beta) est la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

Voir infobox.

Formes[modifier | modifier le code]

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

  • \alpha < 1,\ \beta < 1 est en forme de U (graphe rouge);
  • \alpha < 1,\ \beta \geq 1 ou \alpha = 1,\ \beta > 1 est strictement décroissant (graphe bleu);
  • \alpha = 1,\ \beta = 1 est la loi uniforme continue;
  • \alpha = 1,\ \beta < 1 ou \alpha > 1,\ \beta \leq 1 est strictement croissant (graphe vert);
    • \alpha > 2,\ \beta = 1 est strictement convexe;
    • \alpha = 2,\ \beta = 1 est une droite;
    • 1 < \alpha < 2,\ \beta = 1 est strictement concave;
  • \alpha > 1,\ \beta > 1 est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si \alpha = \beta alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

Généralisations[modifier | modifier le code]

La loi bêta peut se généraliser en :

Estimation des paramètres[modifier | modifier le code]

Soit la moyenne empirique

\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i

et

v = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2

la variance. La méthode des moments fournit les estimations suivantes:

\alpha = \bar{x} \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right),
\beta = (1-\bar{x}) \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right).

Distributions associées[modifier | modifier le code]

  • Si X a une distribution bêta, alors la variable aléatoire T = \frac{X}{1-X} est distribuée selon la loi bêta prime ;
  • La loi bêta-binomiale est la loi conjuguée de la loi bêta ;
  • La loi \mathrm{Beta}(1,1) est identique à la Loi uniforme continue ;
  • Si X et Y sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres (\alpha, \theta) et (\beta, \theta) respectivement, alors la variable aléatoire \frac{X}{X+Y} est distribuée selon une loi \mathrm{Beta}(\alpha,\beta) ;
  • Si X \sim {\rm U}(0; 1)\, selon une loi uniforme, alors X^2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \  ;
  • La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes \ {\rm U}(0, 1]\, suit la loi {\rm Beta}(k,n-k+1) \ .
  • La loi Beta( 1/2, 1/2 ) est appelée Loi de l'Arc sinus

Liens externes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Beta distribution » (voir la liste des auteurs)