Loi uniforme discrète

Loi uniforme discrète
Densité de probabilité / Fonction de masse n=5 où n = b − a + 1
Fonction de répartition n=5 où n = b − a + 1. Par convention la fonction de répartition (de masse) Fk(ki) est la probabilité que $k \ge k_i$
Paramètres	$a \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\!$ $b \in (...,-2,-1,0,1,2,...)\!$ $n=b-a+1\!$
Support	$k \in \{a,a+1,...,b-1,b\}\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \\0 & \mbox{sinon } \end{matrix}$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<a\\ \frac{k-a+1}{n} & \mbox{pour }a \le k \le b \\1 & \mbox{pour }k>b \end{matrix}$
Espérance	$\frac{a+b}{2}\!$
Médiane (centre)	$a+n/2\!$
Variance	$\frac{n^2-1}{12}\!$
Asymétrie	$0\!$
Kurtosis normalisé	$-\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}\!$
Entropie	$\ln(n)\!$
Fonction génératrice des moments	$\frac{e^{at}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{kt}\!$
Fonction caractéristique	$\frac{e^{iat}}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{ikt}\!$

En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

Description

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k₁ ,k₂ , ... , k_n équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur k_i  est égale à 1/n.

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi

$F(k;a,b,n)={1\over n}\sum_{i=1}^n H(k-k_i)$

où H(x-x₀ ) désigne la fonction marche de Heaviside, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x₀ , aussi appelée masse de Dirac en x₀ . Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

Cas général

Une variable aléatoire X prenant toutes les valeurs possibles d'un ensemble A (de cardinal #A=n ) avec équiprobabilité sera dite uniforme sur A.

Cas particulier important

La table ci-contre concerne la loi uniforme sur un ensemble de n entiers consécutifs, qui n'est qu'un cas particulier de loi uniforme, mais un cas particulier important : cela correspond à

$\ A\ =\ [\![a,b]\!],\qquad n=b-a+1.$

Calcul de probabilités et d'espérance (cas général)

Si X suit la loi uniforme sur un ensemble fini A, on dit parfois que la loi de X est $\scriptstyle\ \mathbb{U}_A.\$ On note

$\ \mathbb{P}(X=x)\ =\ \mathbb{U}_A(\{x\})\ =\ \frac{1\!\!1_A(x)}{\#A},\$

où $\scriptstyle\ 1\!\!1_A(.)\$ désigne la fonction indicatrice de l'ensemble A. D'un point de vue pratique,

$\ \mathbb{P}(X\in B)\ =\ \sum_{x\in B}\,\frac{1\!\!1_A(x)}{\#A}\ =\ \frac{\#(A\cap B)}{\#A}.$

Pour une fonction φ définie sur A, à valeurs réelles, on a :

$\ \mathbb{E}\left[\varphi(X)\right]\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\varphi(x).$

L'espérance de φ(X) est donc la valeur moyenne de φ sur A. En utilisant les notations classiques de théorie de la mesure, on traduira cela par :

$\ \mathbb{P}_X\ =\ \mathbb{U}_A\ =\ \frac{1}{\#A}\sum_{x\in A}\,\delta_x,$

où δ_x désigne la masse de Dirac en x, qui a pour fonction de répartition la fonction marche de Heavyside évoquée plus haut.

Voir aussi

Pages liées

• Loi uniforme continue
• Indépendance des variables uniformes discrètes