Loi bêta prime

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Loi bêta prime
Image illustrative de l'article Loi bêta prime
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi bêta prime
Fonction de répartition

Paramètres \alpha > 0 paramètre de forme
\beta > 0 paramètre de forme
Support x\in ]0,\infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) f(x) = \frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)}\!
Fonction de répartition  I_{\frac{x}{1+x}(\alpha,\beta) }I_x(\alpha,\beta) est la fonction bêta incomplète régularisée
Espérance \frac{\alpha}{\beta-1} \text{ si } \beta>1
Mode \frac{\alpha-1}{\beta+1} \text{ si } \alpha\ge 1\text{, 0 sinon}\!
Variance \frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \text{ si } \beta>2

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta prime (également connue sous les noms loi bêta II ou loi bêta du second type[1]) est une loi de probabilité continue définie dont le support est \scriptstyle ]0,\infty[ et dépendant de deux paramètres de forme.

Si une variable aléatoire X suit une loi bêta prime, on notera X\sim  \beta^{'}(\alpha,\beta).

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Sa densité de probabilité est donnée par :

f(x) = \begin{cases}\frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{B(\alpha,\beta)} & \text{ si }x>0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

B est la fonction bêta.

Cette loi est une loi de Pearson de type VI[1].

Le mode d'une variable aléatoire de loi bêta prime est \hat{X} = \frac{\alpha-1}{\beta+1}. Sa moyenne est \frac{\alpha}{\beta-1} si \beta>1 (si \beta \leq 1 la moyenne est infinie, en d'autres termes elle n'est pas définie pour la loi bêta prime), et sa variance est \frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} si \beta>2.

Pour -\alpha <k <\beta , le k-ième moment  E[X^k] est donné par

 E[X^k]=\frac{B(\alpha+k,\beta-k)}{B(\alpha,\beta)}.

Pour  k\in \mathbb{N} avec k <\beta , la formule se simplifie en

 E[X^k]=\prod_{i=1}^{k}  \frac{\alpha+i-1}{\beta-i}.

La fonction de répartition de la loi bêta prime est :

F(x)=\begin{cases} \frac{x^\alpha \cdot _2F_1(\alpha, \alpha+\beta, \alpha+1, -x)}{\alpha \cdot B(\alpha,\beta)}  & \text{ si }x>0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

_2F_1 est la fonction hypergéométrique.

Généralisation[modifier | modifier le code]

De nouveaux paramètres peuvent être ajoutés pour former la loi bêta prime généralisée :

p > 0 paramètre de forme et q > 0 paramètre d'échelle.

La densité de probabilité est alors donnée par :

f(x;\alpha,\beta,p,q) = \begin{cases}  \frac{p{\left({\frac{x}{q}}\right)}^{\alpha p-1} \left({1+{\left({\frac{x}{q}}\right)}^p}\right)^{-\alpha -\beta}}{qB(\alpha,\beta)}  & \text{ si }x>0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

avec moyenne

\frac{q\Gamma(\alpha+\tfrac{1}{p})\Gamma(\beta-\tfrac{1}{p})}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \text{ si } \beta p>1

et mode

q{\left({\frac{\alpha p -1}{\beta p +1}}\right)}^\tfrac{1}{p} \text{ si } \alpha p\ge 1.

Si une variable aléatoire X suit une loi bêta prime généralisée, on notera X\sim  \beta^{'}(\alpha,\beta,p,q). Si p=q=1, alors la loi bêta prime généralisée est la loi bêta prime standard.

Loi gamma composée[modifier | modifier le code]

La loi gamma composée[2] est la loi bêta prime généralisée quand le paramètre d'échelle p=1 et q est quelconque. elle est nommée ainsi car elle est une composition de deux lois gamma dans le sens :

\beta'(x;\alpha,\beta,1,q) = \int_0^\infty G(x;\alpha,p)G(p;\beta,q) \; dp

G(x;a,b) est la loi gamma avec forme a et intensité b. Cette relation peut être utilisée pour générer des variables aléatoires de loi gamma composée ou de loi bêta prime.

Les mode, moyenne et variance de la loi gamma composée peuvent être obtenus en multipliant les mode et moyenne de la loi bêta prime par q et la variance par q2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si X \sim \beta^{'}(\alpha,\beta)\, alors \tfrac{1}{X} \sim \beta^{'}(\beta,\alpha).
  • Si X \sim \beta^{'}(\alpha,\beta,p,q)\, alors kX \sim \beta^{'}(\alpha,\beta,p,kq)\,.
  • \beta^{'}(\alpha,\beta,1,1) = \beta^{'}(\alpha,\beta)\,

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Johnson et al (1995), p248
  2. (en) Satya D. Dubey, « Compound gamma, beta and F distributions », Metrika, vol. 16,‎ décembre 1970, p. 27–31 (DOI 10.1007/BF02613934, lire en ligne)