Loi du χ non centrée

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Loi du \chi non centrée
Paramètres k\in \{1,2,\dots\}\, (degrés de liberté)

\lambda > 0\,

Support x \in [0; +\infty[\,
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{e^{-(x^2+\lambda^2)/2}x^k\lambda}{(\lambda x)^{k/2}} I_{k/2-1}(\lambda x)
Espérance \sqrt{\frac{\pi}{2}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-\lambda^2}{2}\right)\,
Variance k+\lambda^2-\mu^2\,

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du \chi non centrée est une généralisation la loi du χ. Si \scriptstyle X_i,\,i=1,\dots,k, sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et écart-type respectifs \scriptstyle \mu_i,\,i=1,\dots,k et \scriptstyle \sigma_i,i=1,\dots,k, alors

X = \sqrt{\sum_1^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}

est une variable aléatoire de loi du \chi non centrée. Cette loi a deux parametres : un entier k qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de variables X_i), et un réel \lambda>0 relatif à la moyenne des variables X_i par la formule :

\lambda=\sqrt{\sum_1^k \left(\frac{\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}

On dira que X suit une loi du χ non centrée avec k degrés de liberté et de paramètre λ, on notera X \sim NC\chi_k(\lambda)

Propriétés[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité est donnée par :

f(x;k,\lambda)=\frac{e^{-(x^2+\lambda^2)/2}x^k\lambda}{(\lambda x)^{k/2}} I_{k/2-1}(\lambda x)

I_\nu(z) est la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

Les premiers moments sont :

\mu'_1=\sqrt{\frac{\pi}{2}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-\lambda^2}{2}\right)
\mu'_2=k+\lambda^2
\mu'_3=3\sqrt{\frac{\pi}{2}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-\lambda^2}{2}\right)
\mu'_4=(k+\lambda^2)^2+2(k+2\lambda^2)

L_n^{(a)}(z) est le polynôme de Laguerre généralisé. Il est à remarquer que le deuxième moment est le même que le n-ième moment de la loi du χ² non centrée où le paramètre \lambda est remplacé par \lambda^2.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • Si X est une variable aléatoire de loi du χ² non centrée, alors la variable aléatoire X^2 est une variable aléatoire de loi du χ non centrée.
  • Si X est de loi du χ, X \sim \chi_k, alors X est également de loi du χ non centrée : X \sim NC\chi_k(0). En d'autres termes, la loi du χ est un cas particulier de la loi du χ non centrée avec le paramètre \lambda=0.
  • La loi du χ non centrée à deux degrés de liberté est similaire à la loi de Rice avec \sigma=1.
  • Si X suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et le paramètre λ, alors σX suit une loi normale repliée avec paramètres σλ et σ2 pour toute valeur de σ.
Différentes lois du \chi et \chi^2
Lois en fonction de variables de loi normale
loi du χ² \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2
loi du χ² non centrée \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2
loi du χ \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}
loi du χ non centrée \sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}