Loi du χ²

Pour les méthodes expérimentales, voir Test du χ² et méthode des moindres carrés.

Loi du $\chi^{2}$
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$k \in \N^*$ degrés de liberté
Support	$x \in [0, +\infty[\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,$ où $\Gamma$ est la fonction gamma
Fonction de répartition	$\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$ où $\gamma$ est la fonction gamma incomplète
Espérance	$k\,$
Médiane (centre)	$\approx k-2/3\,$
Mode	$k-2\,$ si $k\geq 2\,$
Variance	$2\,k\,$
Asymétrie	$\sqrt{8/k}\,$
Kurtosis normalisé	$\frac{12}{k}\,$
Entropie	$\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$
Fonction génératrice des moments	$(1-2\,t)^{-k/2}$ pour $2\,t<1\,$
Fonction caractéristique	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

La loi du $\chi^{2}$ (prononcer « khi-deux » ou « khi carré ») est une loi à densité de probabilité. Cette loi est caractérisée par un paramètre dit degrés de liberté à valeur dans l'ensemble des entiers naturels (non nuls).

Soient $X_1, \ldots , X_k$ $k$ variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée et réduite, alors par définition la variable $X \$, telle que

$X: \ =\sum_{i=1}^k X_i^2$

suit une loi du χ² à k degrés de liberté.

Soit $X~$ une variable aléatoire suivant une loi du χ² à $k~$ degrés de liberté, on notera $\chi^2(k)~$ la loi de $X~$.

Alors la densité de $X~$ notée $f_X~$ sera :

$f_X(t)=\frac{1}{2^\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} t^{\frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{t}{2}}\,$ pour tout t positif

où Γ est la fonction gamma.

L'espérance mathématique de $X$ vaut $k$ et sa variance vaut $2k$.

Approximation

Conformément au théorème de la limite centrale lorsque k est « grand » (k > 100), la loi d'une variable de χ², somme de variables aléatoires indépendantes, peut être approchée par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.

D'autres fonctions en χ² peuvent converger plus rapidement vers la loi normale, notamment en ayant X~χ²(k) et k>30:

• $\scriptstyle\sqrt{2X} - \sqrt{(2k-1)}$ tend approximativement vers la loi normale centrée réduite (Ronald Aylmer Fisher).
• $\scriptstyle\sqrt[3]{X/k}$ tend approximativement vers la loi normale de moyenne $\scriptstyle 1-2/(9k)$ et de variance $\scriptstyle 2/(9k)$ (Wilson et Hilferty, 1931).

Utilisation

La principale utilisation de cette loi consiste à apprécier l'adéquation d'une loi de probabilité à une distribution empirique en utilisant le test du χ² basé sur la loi multinomiale. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).

Lien avec les méthodes bayésiennes

Dans son ouvrage Décisions rationnelles dans l'incertain (1974), qui constitue une somme des techniques bayésiennes dont la grande émergence se fait à cette époque, le professeur Myron Tribus montre que le χ² constitue un exemple de passage à la limite du psi-test (test de plausibilité) bayésien lorsque le nombre de valeurs en présence devient grand - ce qui est la condition de travail des statistiques classiques, mais pas nécessairement des bayésiennes. Le raccord entre les deux disciplines, qui sont asymptotiquement convergentes, est ainsi complet.

L'ouvrage de référence de Jaynes en donne également une démonstration en page 287.

Voir aussi

Articles connexes

• Méthode des moindres carrés
• Test du χ²
• Loi de Rice

Bibliographie

• H. O. Lancaster (1969) The Chi-squared Distribution, New York: Wiley.