Loi de Gompertz

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Loi de Gompertz
Image illustrative de l'article Loi de Gompertz
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Note: b=2.322

Image illustrative de l'article Loi de Gompertz
Fonction de répartition
'

Paramètres b>0, paramètre d'échelle
\eta>0, paramètre de forme
Support x \in ]-\infty, \infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) b\eta e^{-bx}\exp\left(-\eta e^{-bx} \right)
Fonction de répartition \exp\left(-\eta\left(e^{-bx}\right)\right)
Espérance \frac{1}{b}(\ln\eta - \psi(1))
Mode \frac{1}{b}\ln\eta
Variance \frac{1}{b^2}\psi^{(1)}(1)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Gompertz est une distribution de probabilité continue. Son nom est issu du nom du mathématicien britannique Benjamin Gompertz. En 1825, Gompertz modélise le taux de mortalité grâce à un modèle, la loi de Gompertz s'en déduit.

La loi de Gompertz avec dérive est la loi de probabilité du maximum de deux variables aléatoires indépendantes, l'une de loi exponentielle de paramètre b, l'autre de loi de Gompertz de paramètres \scriptstyle \eta et b. Cette version avec dérive a été proposée par Albert Bemmaor en 1994 pour un modèle d'économie[1].

Ces lois sont depuis utilisées dans plusieurs domaines : économie, biologie, etc.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi de Gompertz est donnée par[1] :

 f(x;b,\eta) =  \eta b e^{-bx} e^{-\eta e^{-bx}}  \text{ pour }x \in ]-\infty, \infty[

\scriptstyle b > 0 est le paramètre d'échelle et \scriptstyle \eta > 0 est le paramètre de forme.

En actuariat, biologie ou démographie, les paramètres peuvent être différents.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi de Gompertz est donnée par[1] :

 F(x;b,\eta) = e^{-\eta e^{-bx}}\text{ pour }x \in ]-\infty, \infty[

Propriétés[modifier | modifier le code]

La moyenne d'une variable aléatoire Y suivant une loi de Gompertz est donnée par :

\mathbb E(Y)=\frac{1}{b}(\ln\eta - \psi(1))

\scriptstyle \psi est la fonction digamma et où \scriptstyle \psi(1)=-0,577....

La variance d'une variable aléatoire Y suivant une loi de Gompertz est donnée par :

Var(Y)=\frac{1}{b^2}\psi^{(1)}(1)

\scriptstyle \psi^{(1)} est la fonction trigamma et où \scriptstyle \psi^{(1)}(1)=1,645....

Loi de Gompertz avec dérive[modifier | modifier le code]

Densité de la loi de Gompertz avec dérive.
Fonction de répartition de la loi Gompertz avec dérive.

La densité de probabilité de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par[1] :

 f(x;b,\eta) = \begin{cases} b e^{-bx} e^{-\eta e^{-bx}}\left[1 + \eta\left(1 - e^{-bx}\right)\right] & \text{ pour }x \geq 0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

La fonction de répartition de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par[1] :

 F(x;b,\eta) = \begin{cases}\left(1 - e^{-bx}\right)e^{-\eta e^{-bx}} & \text{ pour }x \geq 0 \\ 0 & \text{ sinon.}\end{cases}

L'espérance d'une variable aléatoire Y de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

\mathbb E(Y)=(-1/b)\{\mathbb{E}[\ln(X)] - \ln(\eta)\}\,

\mathbb{E}[\ln(X)] = [1 {+} 1 / \eta] \int_0^\eta e^{-X}[\ln(X)]dX - 1/\eta \int_0^\eta X e^{-X}[\ln(X)] dX .

La variance d'une variable aléatoire Y de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

Var(Y)=(1/b^2)(\mathbb{E}\{[\ln(X)]^2\} - (\mathbb{E}[\ln(X)])^2)\,

\mathbb{E}\{[\ln(X)]^2\} = [1 {+} 1 / \eta] \int_0^\eta e^{-X}[\ln(X)]^2 dX - 1/\eta \int_0^\eta X e^{-X}[\ln(X)]^2 dX.

Le mode de la loi de Gompertz avec dérive est 0 pour \scriptstyle 0 < \eta \leq 0.5, et \scriptstyle (-1/b)\ln(z^\star) pour  \eta > 0.5 et où z^\star = [3 + \eta - (\eta^2 + 2\eta + 5)^{1/2}]/(2\eta).

Forme[modifier | modifier le code]

La loi de Gompertz avec dérive peut prendre différentes types de forme en fonction du paramètre de forme \scriptstyle\eta :

  • 0 < \eta \leq 0.5\, la densité a son mode en 0.
  • \eta > 0.5\, la densité a son mode en -\frac{\ln(z^\star)}{b}\scriptstyle z^\star = [3 + \eta - (\eta^2 + 2\eta + 5)^{1/2}]/(2\eta) \in ]0,1[ est la plus petite racine de \eta^2z^2 - \eta(3 + \eta)z + \eta + 1 = 0.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e (en) Albert Bemmaor, Modeling the Diffusion of New Durable Goods : Word-of-mouth Effect Versus Consumer Heterogeneity, Kluwer,‎ 1994 (ISBN 0-7923-9388-0, lire en ligne), p. 204+209

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Deepa Chandrasekaran et Gerard J. Tellis, Review of Marketing Research, vol. 3, Armonk, M.E. Sharpe,‎ 2007, 39–80 p. (ISBN 978-0-7656-1306-6), « A Critical Review of Marketing Research on Diffusion of New Products »
  • Fernando Jimenez et Pedro Jodra, « A Note on the Moments and Computer Generation of the Shifted Gompertz Distribution », Communications in Statistics - Theory and Methods, vol. 38, no 1,‎ 2009, p. 78–89 (lien DOI?)
  • Christophe Van den Bulte et Stefan Stremersch, « Social Contagion and Income Heterogeneity in New Product Diffusion: A Meta-Analytic Test », Marketing Science, vol. 23, no 4,‎ 2004, p. 530–544 (lien DOI?)