Loi de Fréchet

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Loi de Fréchet
Image illustrative de l'article Loi de Fréchet
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Image illustrative de l'article Loi de Fréchet
Fonction de répartition

Paramètres \alpha \in ]0,\infty[ paramètre de forme.
(deux paramètres optionnels)
 s \in ]0,\infty[ paramètre d'échelle (par défaut :  s=1 \, )
  m \in ]-\infty,\infty[ paramètre de position du minimum (par défaut :  m=0 \, )
Support x>m
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\alpha}{s} \; \left(\frac{x-m}{s}\right)^{-1-\alpha} \; e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}
Fonction de répartition e^{-(\frac{x-m}{s})^{-\alpha}}
Espérance \begin{cases}
                  \ m+s\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)  & \text{pour } \scriptstyle \alpha>1  \\
                  \ \infty              & \text{sinon}
                \end{cases}
Médiane m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log_e(2)}}
Mode m+s\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}
Variance \begin{cases}
                  \scriptstyle s^2\left(\Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2\right)  & \text{pour } \scriptstyle \alpha>2  \\
                  \ \infty              & \text{sinon}
                \end{cases}
Asymétrie voir l'article
Kurtosis normalisé voir l'article
Entropie  1 + \frac{\gamma}{\alpha} + \gamma +\ln \left( \frac{s}{\alpha} \right) , où \gamma est la constante d'Euler-Mascheroni.
Fonction génératrice des moments le k-ième moment existe[1] si \alpha>k
Fonction caractéristique voir Muraleedharan, Soares & Lucas (2011)[1]

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Fréchet est un cas spécial de loi d'extremum généralisée au même titre que la loi de Gumbel ou la loi de Weibull.

Le nom de cette loi est issu de Maurice Fréchet qui écrivit un article en 1927, d'autres travaux ont été réalisés par Ronald Aylmer Fisher et Leonard Tippett en 1928 et par Émil Julius Gumbel en 1958.

Définition[modifier | modifier le code]

Sa fonction de répartition est donnée par :

\mathbb P(X \le x)=\begin{cases} e^{-x^{-\alpha}} & \text{ si } x>0 \\ 0 &\text{ sinon}\end{cases}

\alpha>0 est un paramètre de forme. Cette loi peut être généralisée en introduisant un paramètre de position m du minimum et un paramètre d'échelle s>0. La fonction de répartition est alors :

\mathbb P(X \le x)=\begin{cases} e^{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}} & \text{ si } x>m \\ 0 &\text{ sinon.}\end{cases}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Moments[modifier | modifier le code]

La loi de Fréchet à un paramètre \alpha a des moments standards :

\mu_k=\int_0^\infty x^k f(x)dx=\int_0^\infty t^{-\frac{k}{\alpha}}e^{-t}dt,

(avec t=x^{-\alpha}) définis pour k<\alpha :

\mu_k=\Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)

\Gamma\left(z\right) est la fonction Gamma.

En particulier :

Quantiles[modifier | modifier le code]

Le quantile q_y d'ordre y peut être exprimé grâce à l'inverse de la fonction de répartition :

q_y=F^{-1}(y)=\left(-\log_e y \right)^{-\frac{1}{\alpha}}.

En particulier la médiane est :

q_{1/2}=(\log_e 2)^{-\frac{1}{\alpha}}.

Le mode de la loi de Fréchet est \left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^\frac{1}{\alpha}.

Pour la loi de Fréchet à trois paramètres, le premier quartile est q_1=\scriptstyle m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(4)}} et le troisième quartile est q_3=\scriptstyle m+\frac{s}{\sqrt[\alpha]{\log(\frac{4}{3})}} .

Asymétrie et kurtosis[modifier | modifier le code]

L'asymétrie de la loi de Fréchet est :

\begin{cases}
                  \ \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\sqrt{ \left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^3 }}  & \text{pour } \alpha>3  \\
                  \ \infty              & \text{sinon}
                \end{cases}

le kurtosis est :

\begin{cases}
                  \ -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}  & \text{pour } \alpha>4  \\
                  \ \infty              & \text{sinon}
                \end{cases}

Applications[modifier | modifier le code]

Loi de Fréchet utilisée pour modéliser des précipitations extrêmes.

En hydrologie, la loi de Fréchet s'utilise pour des évènements extrêmes tels que le maximum annuel des précipitations journalières ou le débit des rivières[2]. La figure bleue illustre un exemple applicable de loi de Fréchet du maximum annuel des précipitations journalières en Oman, montrant également la bande de confiance de 90 % basée sur la loi binomiale.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Muraleedharan. G, C. Guedes Soares and Cláudia Lucas (2011). "Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Extreme Value Distribution (GEV)". In Linda. L. Wright (Ed.), Sea Level Rise, Coastal Engineering, Shorelines and Tides, Chapter-14, pp. 269-276. Nova Science Publishers. ISBN 978-1-61728-655-1
  2. (en) Coles, Stuart, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values,, Londres, Springer-Verlag,‎ 2001, 2e éd. (ISBN 978-1-85233-459-8, lire en ligne)
  • Fréchet, M., (1927). « Sur la loi de probabilité de l'écart maximum. » Ann. Soc. Polon. Math. 6, 93.
  • Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., (1928). "Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample." Proc. Cambridge Philosophical Society 24:180-190.
  • Gumbel, E.J. (1958). "Statistics of Extremes." Columbia University Press, New York.
  • Kotz, S.;Nadarajah, S. (2000) Extreme value distributions: theory and applications, World Scientific. ISBN 1860942245

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]