Loi z de Fisher

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Loi z de Fisher
Paramètres d_1>0,\, d_2>0, (degrés de liberté)
Support x \in ]-\infty; +\infty [
Densité de probabilité (fonction de masse) \scriptstyle\frac{2d_1^{d_1/2}d_2^{d_2/2}}{B(d_1/2,d_2/2)}\frac{e^{d_1z}}{\left(d_1e^{2z}+d_2\right)^{\left(d_1+d_2\right)/2}}\!
Mode 0
Fonction caractéristique \scriptstyle\exp\!\left[\; it\mu - |c\,t|(1+\tfrac{2i}{\pi}\log(|t|)\right]

En théorie des probabilités et en statistique, la loi z de Fisher est construite à partir de la loi de Fisher en prenant la moitié de son logarithme :

Z = \frac{1}{2} \log X X suit une loi de Fisher.

Elle est initialement apparue dans un travail[1] de Ronald Fisher lors du congrès international des mathématiciens de 1924 à Toronto, et intitulé On a distribution yielding the error functions of several well-known statistics que l'on peut traduire par : Sur une loi modélisant les fonctions d'erreur de plusieurs statistiques bien connues.

Définition[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité et la fonction de répartition peuvent être obtenues grâce à celles de la loi de Fisher par l'application x\mapsto e^{2x}. Cependant la moyenne et la variance ne sont pas les images de cette application. La densité est donnée par[2],[3] :

f(x; d_1, d_2) = \frac{2d_1^{d_1/2} d_2^{d_2/2}}{B(d_1/2, d_2/2)} \frac{e^{d_1 x}}{\left(d_1 e^{2 x} + d_2\right)^{(d_1+d_2)/2}},

B est la fonction bêta.

Lien avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Fisher, R.A. (1924) On a Distribution Yielding the Error Functions of Several Well Known Statistics Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto, 2: 805-813 pdf copy
  1. Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto, 2: 805-813 (1924)
  2. Charles Ernest Weatherburn, A first course in mathematical statistics

Liens externes[modifier | modifier le code]