Loi binomiale négative étendue

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Loi binomiale négative étendue
Paramètres  m\geq 1
0< p \leq 1
-m <r <-m+1
Support k \in \{m, m+1, m+2, \ldots\}
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{{k+r-1 \choose k} p^k}{(1-p)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j} p^j}
Fonction génératrice des moments \scriptstyle\frac{(1-ps)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{j+r-1}j (ps)^j} {(1-p)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{j+r-1}j p^j}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale négative étendue (ou loi binomiale négative tronquée) est une loi de probabilité discrète qui étend la loi binomiale négative. Cette loi est la version tronquée de la loi binomiale négative[1] pour laquelle des méthodes d'estimation ont été étudiées[2].

Dans le contexte de la science actuarielle, la loi apparait dans sa forme générale dans un article de K. Hess, A. Liewald et K.D. Schmidt[3] où les auteurs caractérisent les lois par une extension de l'itération de Panjer (en). Pour le cas m=1, la loi binomiale négative étendue a été introduite par Willmot[4] et une famille paramétrée avec la loi logarithmique et la loi binomiale négative fut instaurée par H.U. Gerber[5].

Une variable aléatoire X de loi binomiale négative étendue de paramètres m, r et p sera notée : X\sim \mathrm{ExtNegBin}(m,r,p).

Fonction de masse[modifier | modifier le code]

Pour un entier naturel \scriptstyle m\geq 1 et des paramètres réels \scriptstyle 0< p \leq 1 et \scriptstyle -m <r <-m+1, la fonction de masse de la loi binomiale négative étendue est donnée par :

 f(k;m,r,p)= \begin{cases} 0 & \text{ si } k\in\{0,1,\ldots,m-1\} \\ \frac{{k+r-1 \choose k} p^k}{(1-p)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j} p^j} & \text{ si }k\in{\mathbb N}\text{ avec }k\ge m \end{cases}

 {k+r-1 \choose k} = \frac{\Gamma(k+r)}{k!\,\Gamma(r)} = (-1)^k\,{-r \choose k}

est le coefficient binomial (généralisé) et Γ est la fonction gamma.

Fonction génératrice[modifier | modifier le code]

En utilisant la représentation avec les coefficients binomiaux, la fonction génératrice des probabilités de la loi binomiale négative étendue est donnée par :

\begin{align}\varphi(s)&=\sum_{k=m}^\infty f(k;m,r,p)s^k\\
&=\frac{(1-ps)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{j+r-1}j (ps)^j} {(1-p)^{-r}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{j+r-1}j p^j}
\qquad\text{ pour } |s|\le\frac{1}{p}.\end{align}

Pour le cas important m = 1, et donc pour \scriptstyle r \in\left]-1,0\right[ , la fonction génératrice s'écrit

\varphi(s)=\frac{1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}\qquad\text{ pour }|s|\le\frac1p.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (page 227)
  2. Shah S.M. (1971) "The displaced negative binomial distribution", Bulletin of the Calcutta Statistical Association, 20, 143–152
  3. (en) Klaus Th. Hess, « An extension of Panjer's recursion », ASTIN Bulletin, vol. 32, no 2,‎ 2002, p. 283–297 (DOI 10.2143/AST.32.2.1030, zbMATH 1098.91540, lire en ligne [PDF])
  4. (en) Gordon Willmot, « Sundt and Jewell's family of discrete distributions », ASTIN Bulletin, vol. 18, no 1,‎ 1988, p. 17–29 (DOI 10.2143/AST.18.1.2014957, lire en ligne [PDF])
  5. (en) Hans U. Gerber, « From the generalized gamma to the generalized negative binomial distribution », Insurance: Mathematics amd Economics, vol. 10, no 4,‎ 1992, p. 303–309 (ISSN 0167-6687, DOI 10.1016/0167-6687(92)90061-F, zbMATH 0743.62014)