Loi de Benktander

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Loi de Benktander
Image illustrative de l'article Loi de Benktander
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
densité de la loi de Benktander de type II
Type I, Type II

Image illustrative de l'article Loi de Benktander
Fonction de répartition
fonction de répartition de la loi de Benktander de type II
Type I, Type II

Paramètres a >0\,
\begin{cases} 0\leq b & \text{type I}\\ 0<b\leq 1 & \text{type II}\end{cases}
Support x \in [1; +\infty[\,
Densité de probabilité (fonction de masse) voir l'article
Fonction de répartition voir l'article
Espérance 1+\frac{1}{a}
Médiane voir l'article
Variance voir l'article

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Benktander est une loi de probabilité continue connue sous deux types différents : la loi de Benktander de type I (ou loi de Benktander-Gibrat) et la loi de Benktander de type II (ou loi de Benktander Weibull). Ces lois sont initialement apparues dans un article de 1960 écrit par Benktander et Segerdahl[1]. Elles sont principalement utilisées en économie.

Au même titre que la distribution de Pareto est une généralisation de la loi exponentielle, les deux lois de Benktander sont également des généralisations de cette loi exponentielle.

Si X_I suit une loi de Benktander de type I, on notera X_I\sim \mathrm{BenktanderI}(a,b). De même pour le type II : X_{II}\sim \mathrm{BenktanderII}(a,b)

Motivations[modifier | modifier le code]

La distribution de Pareto est une loi exponentielle de paramètre \scriptstyle \log (x/x_m)x_m est un paramètre de position. Ainsi apparait un paramètre d'échelle exponentiel : e(x):=\frac{x}{x_m}. Afin de mieux correspondre aux valeurs empiriques économiques, deux autres paramètres d'échelle exponentiels sont définis par :

\begin{cases}
e_I(x)=\frac{x}{a+2b\log(x)} &  \text{ pour }a >0 \text{ et }  0\leq b \\
e_{II}(x)=\frac{x^{1-b}}{a} & \text{ pour }a >0 \text{ et } 0<b\leq 1
\end{cases}

Ces deux nouveaux paramètres permettent de définir les deux types de la loi de Benktander.

Définitions[modifier | modifier le code]

Les deux changements d'échelle précédents permettent de définir les deux fonctions de répartition des lois de Benktander de type I et de type II :

Pour le type I :

F_{I}(x)=\begin{cases}
 1 - x^{-1-a-b {\mathrm{Log}[x]}} \left(1+\tfrac{2b \mathrm{Log}[x]}{a}\right) & \text{ pour }x\geq 1\\
0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Pour le type II :

F_{II}(x)=\begin{cases}
 1 -  e^{\frac{a}{b}(1-x^b)} x^{b-1} & \text{ pour }x\geq 1\\
0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Par dérivation, on obtient les deux densités de probabilité :

Pour le type I :

f_{I}(x)=\begin{cases}
x^{-2-a-b {\mathrm{Log}[x]}} \left( -\tfrac{2b}{a} + \left(1 + a + 2b \mathrm{Log}[x]\right)\left(1+\tfrac{2b \mathrm{Log}[x]}{a}\right)\right) & \text{ pour }x\geq 1\\
0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Pour le type II :

f_{II}(x)=\begin{cases}
 e^{\tfrac{a(1-x^b)}{b}} x^{-2+b} (1-b+a x^b)  & \text{ pour }x\geq 1\\
0 & \text{ sinon.} \end{cases}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les moyennes des deux types sont égales à \mathbb E[X]=1+\frac{1}{a}. Les variances sont données par :

 Var(X_I)=\frac{-\sqrt{b}+a e^{\tfrac{(-1+a)^2}{4b}} \sqrt{\pi} \operatorname{erfc}\left(\tfrac{-1+a}{2\sqrt{b}}\right) }{a^2\sqrt{b}}

et

 Var(X_{II})= \frac{-1}{a^2}+\frac{2 e^{\tfrac{a}{b}} {\rm E}(1-\tfrac{1}{b},\tfrac{a}{b}) }{ab}

 X_I\sim \mathrm{BenktanderI}(a,b), X_{II}\sim \mathrm{BenktanderII}(a,b), erfc est la fonction d'erreur et \scriptstyle {\rm E}(n,x) est l'exponentielle intégrale généralisée.

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

  • \lim_{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI}(a,b) \sim Pareto(1,1+a)

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Christian Kleiber et Samuel Kotz, Statistical size distributions in economics and actuarial sciences, Wiley-Interscience,‎ 2003, 340 p. (ISBN 0-471-15064-9, lire en ligne), p. 247
  • Benktander, G. and Seherdahl, C.O. (1960) "On the analytical representation of claim distributions with special reference to excess-of-loss reinsurance". Trans. 16-th Intern. Congress Actuaries, 626-646.