Loi inverse-gaussienne généralisée

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Loi inverse-gaussienne généralisée
Paramètres  \delta \geq 0,
 \gamma \geq 0,
 \lambda\in \mathbb R
Support [0,\infty[
Densité de probabilité (fonction de masse) \left(\frac{\gamma}{\delta}\right)^\lambda\frac{1}{2 K_\lambda(\delta\gamma)} x^{\lambda-1} e^{-\frac{1}{2}(\gamma^2 x + \frac{\delta^2}{x})}
Espérance \frac{\delta K_{\lambda+1}(\delta\gamma) }{ \gamma\ K_{\lambda}(\delta\gamma)}
Mode \frac{(\lambda-1)+\sqrt{(\lambda-1)^2+(\delta\gamma)^2}}{\gamma^2}
Variance \left(\frac{^\delta}{\gamma}\right)^2\left[\frac{K_{^\lambda+2}(\delta\gamma)}{K_\lambda(\delta\gamma)}-\left(\frac{K_{\lambda+1}(\delta\gamma)}{K_\lambda(\delta\gamma)}\right)^2\right]
Fonction génératrice des moments \left(\frac{\gamma^2}{\gamma^2-2t}\right)^{\frac{\lambda}{2}}\frac{K_\lambda(\sqrt{\delta^2(\gamma^2-2t})}{K_\lambda(\delta\gamma)}
Fonction caractéristique \left(\frac{\gamma^2}{\gamma^2-2it}\right)^{\frac{^\lambda}{2}}\frac{K_\lambda(\sqrt{\delta^2(\gamma^2-2it})}{K_\lambda(\delta\gamma)}

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.

Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique, en hydrologie ou en finance. Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen[1], puis la loi a été popularisée par Ole Barndorff-Nielsen (en) qui lui a donné son nom, ainsi que par Herbert Sichel (en), la loi est également connue sous le nom de loi de Sichel.

La notation X \sim GIG(\lambda,\delta,\gamma) indique que la variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par[2] :

f(x) = \begin{cases} \displaystyle \left(\frac{\gamma}{\delta}\right)^\lambda\frac{1}{2 K_\lambda(\delta\gamma)} x^{\lambda-1} e^{-\frac{1}{2}(\gamma^2 x + \frac{\delta^2}{x})} & \text{ si } x>0\\ 0 & \text{ sinon}\end{cases}

\scriptstyle K_\lambda est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre \scriptstyle \lambda, et les paramètres vérifient :

\begin{cases}
\delta \geq 0 \;,\; \gamma>0 \; & \text{ si }\lambda>0 \;,\\
\delta > 0 \;,\; \gamma>0 \; & \text{ si }\lambda=0 \;,\\
\delta > 0 \;,\; \gamma\geq 0 \; & \text{ si }\lambda<0 .
\end{cases}

Liens avec d'autres lois[modifier | modifier le code]

Entropie[modifier | modifier le code]

l'Entropie de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

H(f(x))= \log \left(\frac{\delta}{\gamma}\right)+\log \left(2 K_\lambda\left(\delta\gamma\right)\right)-
(\lambda-1) \frac{\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\delta\gamma\right)\right]_{\nu=\lambda}}{K_\lambda\left(\delta\gamma\right)}+\frac{\delta\gamma}{2 K_\lambda\left(\delta\gamma\right)}\left( K_{\lambda+1}\left(\delta\gamma\right) + K_{\lambda-1}\left(\delta\gamma\right)\right)

\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\delta\gamma\right)\right]_{\nu=\lambda} est la dérivée par rapport à l'ordre \nu de la fonction de Bessel modifiée et évaluée en \nu=\lambda.

Références[modifier | modifier le code]

  1. DOI:10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189)
  2. a, b et c (en) Ernst Eberlein et Ernst Hammerstein, « Generalized Hyperbolic and Inverse Gaussian Distributions: Limiting cases and Approximation of processes », Progress in Probability, vol. 58,‎ 2004, p. 221-264 (lire en ligne)