Loi bêta décentrée

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Loi bêta décentrée
Image illustrative de l'article Loi bêta décentrée
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres \alpha > 0 et \beta > 0, paramètres de forme
\lambda\in \mathbb R, paramètre de décentralisation
Support x \in [0; 1]\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \scriptstyle \sum_{j=0}^\infin \frac{1}{j!}\left(\frac{\lambda}{2}\right)^je^{-\lambda/2}\frac{x^{\alpha+j-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha+j,\beta)}
Fonction de répartition \scriptstyle \sum_{j=0}^\infin \frac{1}{j!}\left(\frac{\lambda}{2}\right)^je^{-\lambda/2}I_x(a+j,b)

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta décentrée est une loi de probabilité continue généralisant la loi bêta (sous-entendue centrée) en la décentrant grâce à un paramètre \lambda, c'est-à-dire en décalant sa moyenne.

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la loi bêta décentrée est :

 f(x) = \begin{cases}\displaystyle \sum_{j=0}^\infin \frac{1}{j!}\left(\frac{\lambda}{2}\right)^je^{-\lambda/2}\frac{x^{\alpha+j-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha+j,\beta)} & \hbox{ pour }x\in [0,1]\\ 0 & \hbox{ sinon }\end{cases}

B est la fonction bêta, \alpha et \beta sont les paramètres de forme et \lambda est le paramètre de décentrement.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la loi bêta décentrée est :

F(x) = \sum_{j=0}^\infin \frac{1}{j!}\left(\frac{\lambda}{2}\right)^je^{-\lambda/2}I_x(a+j,b)

I_x est la fonction bêta incomplète régularisée, a et b sont les paramètres de forme et \lambda est le paramètre de décentrement.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Quand \lambda = 0, la loi bêta décentrée est la loi bêta.

Références[modifier | modifier le code]